难以理解 FFT 计算的相位。简短的 matlab 演示来说明

Question

我正在测试正弦信号和余弦信号的 fft 相位输出。 下面的脚本创建信号并对它们执行 FFT。幅度低于阈值的 bin 的相位谱归零，因为我只对信号的相位感兴趣。

% 10khz 10 second long time interval
t = 0:1 / 10000:10;

%1khz cos
c = cos(2 * pi * 1000 .* t);
%1khz sin
s = sin(2 * pi * 1000 .* t);

%ffts
C = fft(c)/length(c);
S = fft(s)/length(s);

%magnitude and phases of ffts
CA = abs(C); %cos magnitude
SA = abs(S); %sin magnitude

Cthresh = max(CA) * 0.5;
Sthresh = max(SA) * 0.5;

%find all indeces below the threshold
Crange = find(CA < Cthresh);
Srange = find(SA < Sthresh);

%set the indeces below the threshold to 0 - phase will be meaningless for
%noise values
CP = angle(C);
CP(Crange) = 0;
SP = angle(S);
SP(Srange) = 0;

如果绘制 CP（cos 的相位），您将在与 cos 信号频率相对应的箱中得到 0.3142 的相位，而其他地方为零。这是 pi/10。我期待着得到 pi。这是为什么呢？

如果绘制 SP，您将得到 1.2566 的值。我期望得到 pi/2 或 1.5708。预期值的80%。是什么导致了这些错误？

Answer 1

如果您的输入信号在 FFT 孔径长度上不是完全周期性的（完整周期的精确整数），则正弦曲线在 FFT 孔径两端将是不连续的。因此，您将得到一个相位，它是 FFT 输入向量两端两个不同相位的平均值。

如果您想要更合理的相位，请将正弦波的相位参考 FFT 输入向量的中心，并在 FFT 之前进行 fft 移位。这将导致在零相位参考位置处出现连续的正弦曲线，并且具有单相而不是奇怪的平均值。

另请注意，matlab 可能会将相位引用为采样正弦曲线中的第二个点（例如，vectorElement[i=1]），而不是第一个点（vectorElement[i=0]）。对于周期 = 20 个样本的正弦曲线，其相位为 pi/10。

Answer 2

您遇到的问题正是 hotpaw2 所说的。 t 中有 100001 个样本，因此没有完美的周期信号，因此存在泄漏。这意味着您从隐式矩形窗口中获得了一个 sin()/sin() 函数，与您的解决方案进行了卷积。这就是改变你的阶段的原因。

如果您尝试以下操作：

t = 0:1 / 10000:9.9999;
c = cos(2 * pi * 1000 .* t);
%1khz sin
s = sin(2 * pi * 1000 .* t);
%ffts
C = fft(c)/length(c);
S = fft(s)/length(s);

您会发现余弦的相位为零（这正是您所期望的），而正弦的相位为 pi/2。

在时域中执行线性移位（使用fftshift）只会在频域中引入线性相位项，并且不会解决原始问题。

实际上，如果要在频域中检查信号，则应应用加窗，而不是尝试精确设置序列的长度以匹配信号的周期。在这种情况下，您确实应该确保信号适当对齐，以便窗口衰减端点，从而消除不连续性。这具有展宽 FFT 主瓣的效果，但它也控制了泄漏。