表示下/上三角矩阵的有效方法

Question

我正在 C/C++ 程序中处理我的数据，这是二维的。这里我的值是成对计算的，并且 foo[i][j] 和 foo[j][i] 的值相同。

因此，如果我使用一个简单的二维数组来实现它，我的空间将被浪费一半。那么表示这个下/上三角矩阵的最佳数据结构是什么？

问候，

Answer 1

如果有 N 个项目，则没有主对角线的下三角数组将具有 (N - 1) * N / 2 个元素，或具有主对角线的 (N + 1) * N / 2 个元素。没有主对角线，(I, J) (I,J ∈ 0..N-1, I > J) ⇒ (I * (I - 1) / 2 + J)。对于主对角线，(I,J ∈ 0..N-1, I ≥ J) ⇒ ((I + 1) * I / 2 + J)。

（是的，当您在 2.5 GB 的计算机上分配 4 GB 时，将其减少一半确实会产生巨大的差异。）

Answer 2

实际上，你最好只使用常规的二维矩阵。内存相当便宜。如果您确实不想这样做，那么您可以构建一个具有正确数量元素的一维数组，然后弄清楚如何访问每个元素。例如，如果数组的结构如下：

    j
    1234
i 1 A
  2 BC
  3 DEF
  4 GHIJ

并且将其存储为一维数组，从左到右，您将访问元素 C (2, 2) 与数组[3]。您可以编写一个从 [i][j] 到 [n] 的函数，但我不会破坏您的乐趣。但你不必这样做，除非所讨论的三角形阵列真的很大或者你非常关心空间。

Answer 3

正如 Dan 和 Praxeolitic 提出的具有对角线但具有修正的转移规则的下三角矩阵。

对于矩阵 n × n，您需要数组 (n+1)*n/2 长度，转换规则为 Matrix[i][j] = Array[i*(i+1)/ 2+j]。

#include<iostream>
#include<cstring>

struct lowerMatrix {
  double* matArray;
  int sizeArray;
  int matDim;

  lowerMatrix(int matDim) {
    this->matDim = matDim;
    sizeArray = (matDim + 1)*matDim/2;
    matArray = new double[sizeArray];
    memset(matArray, .0, sizeArray*sizeof(double));
  };

  double &operator()(int i, int j) {
    int position = i*(i+1)/2+j;
    return matArray[position];
  };
};

我用double来做，但你可以把它做成template。这只是基本框架，所以不要忘记实现析构函数。

Answer 4

使用锯齿状数组：

int N;
// populate N with size

int **Array = new Array[N];
for(int i = 0; i < N; i++)
{
    Array[i] = new Array[N - i];
}

它将创建类似的数组

   0 1 2 3 4 5
0 [           ]
1 [         ]
2 [       ]
3 [     ]
4 [   ]
5 [ ]

Answer 5

需要在 n × n 对称矩阵中表示的唯一元素的数量 m：

对于主对角线

m = (n*(n + 1))/2

没有对角线（对于 OP 描述的对称矩阵，需要主对角线，但只是为了更好的测量......）

m = (n*(n - 1))/2。

如果使用带截断的整数算术，则直到最后一个运算才除以 2 是很重要的。

您还需要执行一些算术来查找与对角矩阵中的 x 行和 y 列相对应的已分配内存中的索引 i。

上对角矩阵中 x 行和 y 列的已分配内存 i 中的索引：

有对角线

i = (y*(2*n - y + 1))/2 + (x - y - 1)

没有对角线

i = (y*(2*n - y - 1))/2 + (x - y -1)

对于下对角矩阵，翻转方程中的 x 和 y。对于对称矩阵，只需在内部选择 x>=y 或 y>=x，并根据需要翻转成员函数。

Answer 6

重复 Dani 的答案...

您可以分配一个数组来保存数据，并分配一个小数组来保存指向第一个数组中的行的指针，而不是分配许多不同大小的数组，这可能会导致内存碎片或奇怪的缓存访问模式分配。

const int side = ...;
T *backing_data = new T[side * (side + 1) / 2];  // watch for overflow
T **table = new T*[side];
auto p = backing_data;
for (int row = 0; row < side; ++row) {
   table[row] = p;
   p += side - row;
}

现在您可以使用 table 就好像它是一个锯齿状数组，如 Dani 的答案所示：

table[row][col] = foo;

但所有数据都在一个块中，否则它可能不会取决于您的分配器的策略。

使用行指针表可能会或可能不会比使用 Praxeolitic 公式计算偏移量更快。

Answer 7

#include <stdio.h>

// Large math problems running on massively parallel systems sometimes use a lot
// of upper triangular matrices.  Implemented naively, these waste 50% of the memory
// in the machine, which is not recoverable by virtual memory techniques because it
// is interspersed with data on each row.  By mapping the array elements into an
// array that is half the size and not actually storing the zeroes, we can do twice
// the computation in the same machine or use half as many machines in total.

// To implement a safety feature of making the zero-part of an upper triangular matrix
// read-only, we place all the zeroes in write-protected memory and cause a memory violation
// if the programmer attempts to write to them.  System dependent but relatively portable.
// Requires that you compile with the -Wno-discarded-qualifiers option.

// for the awkward case (an even-sized array bound):

//                         +--------/
//     row  0, 40 items -> |0      /
//     row  1, 39 items -> |      /
//     row 19, 21 items -> |     /
//     row 20, 20 items -> |----/ <------  cut and rotate here to form a rectangle.
//     row 21, 19 items -> |   /
//                         |  /
//     row 39,  1 item  -> | /
//     row 40,  0 items -> |/
//                         /


//    x y   x  y
//    0,0   39,0
//     +----/           |                     +--------/
//     |   /            | row  0, 40 items -> |0      /| <-- row 40, 0 items
//     |  / - 20,18     | row  1, 39 items -> |      /0| <-- row 39, 1 item
//     | /\             | row 19, 21 items -> |     /  | <-- row 21, 19 items
//     |/  19,19        | row 20, 20 items -> |    /???| <-- row 20, 20 items  half of row 20 is wasted...
//0,39 v                |                     ~~~~~~~~~~
//     |                |

// for odd-sized array bounds, there is no need for the wasted half-row marked '???' above...

// And once the mapping above is done, mirror the indexes in x to get a proper Upper Triangular Matrix which
// looks like this...
//     ____
//     \  |
//      \ |
//       \|
//

// Rather than store the underlying data in a 2D array, if we use a 1-D array,
// and map the indexes ourselves, it is possible to recover that final half-row...

// The implementation allows for the matrix elements to be any scalar type.

#define DECLARE_TRIANGULAR_MATRIX(type, name, bound, zero)                      \
  type _##name[bound * (bound+1) / 2 + 1]; /* +1 is for a debugging tombstone */ \
  type *__##name(int x, int y) { \
    static const type Zero = zero; /* writing to the lower half of the matrix will segfault */ \
    x = (bound-1)-x; /* mirror */ \
    if (x+y >= bound) return &Zero; /* requires cc -Wno-discarded-qualifiers */ \
    if (y > bound/2) {x = (bound-1)-x; y = bound-y;} \
    return &_##name[y*bound+x]; /* standard mapping of x,y -> X */ \
  }
#define TRIANGULAR_MATRIX(name, x, y)  *__##name(x,y)


// ----------------------------------------------------------------------------------------


// Simulate 'int fred[11][11];' as an upper triangular matrix:
#define ARRAYSIZE 11
DECLARE_TRIANGULAR_MATRIX(int, fred, ARRAYSIZE, 0)
#define fred(x, y) TRIANGULAR_MATRIX(fred, x, y)
/* unfortunately we can't #define fred[x][y] here ... In the Imp language which used () both
   for array indexes and procedure parameters, we could write a mapping function fred(x,y)
   which made the indirected function call indistinguishable from a normal array access.
   We attempt to do something similar here using macros, but C is not as cooperative. */



int main(int argc, char **argv) {
  int x,y, element;

  // treat as fully populated 2D array...
  for (y = 0; y < ARRAYSIZE; y++) {
    for (x = 0; x < ARRAYSIZE; x++) {
      if (y <= x) fred(x,y) = (x+1) * 100 + (y+1); // upper triangle test
    }
  }

  fprintf(stdout, "Upper Triangular matrix:\n\n");
  fprintf(stdout, "    ");
  for (x = 0; x < ARRAYSIZE; x++) fprintf(stdout, "%5d", x);
  fprintf(stdout, "\n    ");
  for (x = 0; x < ARRAYSIZE; x++) fprintf(stdout, "_____");
  fprintf(stdout, "\n");
  for (y = 0; y < ARRAYSIZE; y++) {
    fprintf(stdout, "%2d |", y);
    for (x = 0; x < ARRAYSIZE; x++) {
      element = fred(x,y);
      fprintf(stdout, "%5d", element);
      if (y <= x) { // upper triangle test
        if (element != (x+1) * 100 + (y+1)) {
          fflush(stdout); fprintf(stderr, "Mismatch! at %d,%d (%d != %d)\n", x, y, element, x * 100 + y);
        }
      } else if (element != 0) {
        fflush(stdout); fprintf(stderr, "Mismatch! at %d,%d (%d != 0)\n", x, y, element);
      }
    }
    fprintf(stdout, "\n");
  }

  return 0;
}