AdaptIntegrate 与集成的性能

Question

我想在一维中执行数值积分，其中被积函数是向量值。 integrate() 只允许标量被积函数，因此我需要多次调用它。 cubature 包似乎很适合，但对于一维积分来说它的表现似乎很差。考虑以下示例（标量值被积函数和一维积分），

library(cubature)
integrand <- function(x, a=0.01) exp(-x^2/a^2)*cos(x)
Nmax <- 1e3
tolerance <- 1e-4

# using cubature's adaptIntegrate
time1 <- system.time(replicate(1e3, {
  a <<- adaptIntegrate(integrand, -1, 1, tol=tolerance, fDim=1, maxEval=Nmax)
}) )

# using integrate
time2 <- system.time(replicate(1e3, {
  b <<- integrate(integrand, -1, 1, rel.tol=tolerance, subdivisions=Nmax)
}) )

time1
user  system elapsed 
  2.398   0.004   2.403 
time2
user  system elapsed 
  0.204   0.004   0.208 

a$integral
> [1] 0.0177241
b$value
> [1] 0.0177241

a$functionEvaluations
> [1] 345
b$subdivisions
> [1] 10

不知何故，adaptIntegrate 似乎使用更多的函数评估来获得类似的精度。两种方法显然都使用 Gauss-Kronrod 求积（一维情况：15 点高斯求积规则），尽管 ?integrate 添加了“Wynn 的 Epsilon 算法”。这能解释巨大的时间差异吗？

我愿意接受处理向量值被积函数的替代方法的建议，例如

integrand <- function(x, a = 0.01) c(exp(-x^2/a^2), cos(x))
adaptIntegrate(integrand, -1, 1, tol=tolerance, fDim=2, maxEval=Nmax)
$integral
[1] 0.01772454 1.68294197

$error
[1] 2.034608e-08 1.868441e-14

$functionEvaluations
[1] 345

Thanks。

Answer 1

CRAN 中还有 R2Cuba 包，它实现了几种多维集成算法：

我尝试使用您的示例函数对此进行测试，在这样一个简单的情况下，我无法让所有算法都工作（尽管我没有真正努力尝试），并且我确实工作的方法很少比 adaptIntegrate 慢得多与默认设置，但也许在您真正的应用程序中这个包值得尝试。