将已排序的双向链表转换为 BST

Question

如何将已排序的双向链表转换为平衡二叉搜索树。

我正在考虑以与将数组转换为平衡 BST 相同的方式进行此操作。 找到中心，然后递归地转换DLL的左侧部分和右侧部分。 例如，

1 2 3 4 5 => 1 2 (3) 4 5 =>

     3
   /   \
  2     4
 /       \
1         5

这导致递归 T(n) = 2T(n/2) + O(n)。 O(n) 用于寻找中心。 因此时间复杂度为 O(nlogn)。 我想知道是否有一种算法可以在 O(n) 内完成此操作。

Answer 1

是的，有 O(n) 解。请注意，中序遍历 BST 是以所需的顺序迭代元素，因此只需对大小为 n 的初始空树进行中序遍历，并用列表中的元素填充它即可。 [在遍历中插入到树中的第 i 个元素是列表中的第 i 个元素]。

在答案的末尾，我添加了如何在 O(n) 中创建空平衡树。

伪代码：[假设 |list| == |tree|]

global current <- null
fillTree(tree,list):
  current <- list.head
  fillTree(tree)
fillTree(tree):
  if tree == null:
     return
  fillTree(tree.left)
  //in-order traversal: we set the value after setting left, and before calling right
  tree.val <- current.val
  current <- current.next
  fillTree(tree.right)

复杂度很小 O(n)，因为树的每个顶点都只有一次迭代，并且每次迭代都是 O(1)。

编辑：

您可以通过简单地构建一个空的来创建一个空的平衡树完整的树(*)，它是平衡的，构建它的时间复杂度为 O(n)。

(*)完全二叉树是其中每个级别（可能除了最后一个级别）都被完全填充的二叉树。

Answer 2

晚了将近4年。但这是我的功能解决方案。以下是我在 haskell 中的代码，复杂度也是 O(n)：

import Data.List hiding (insert)

data Color = R | B deriving Show
data RBTree a = RBEmpty | RBTree { color :: Color
                                 , ltree :: RBTree a
                                 , nod   :: a
                                 , rtree :: RBTree a } deriving Show

fromOrdList ::  Ord e => [e] -> RBTree e
fromOrdList [] = empty
fromOrdList lst = 
    let (res, _) = _fol lst $ length lst
    in res
    where _fol :: (Ord e, Integral a) => [e] -> a -> (RBTree e, Maybe (e, [e]))
          _fol l 0            = (empty, uncons l)
          _fol (h:l) 1        = (RBTree B empty h empty, uncons l)
          _fol (h1:h2:l) 2    = (RBTree B (RBTree R empty h1 empty) h2 empty, uncons l)
          _fol (h1:h2:h3:l) 3 = (RBTree B (RBTree R empty h1 empty) h2 (RBTree R empty h3 empty), uncons l)
          _fol l n            =
            let mid                  = n `div` 2
                (ltr, Just (rt, tl)) = _fol l mid
                (rtr, mayremain)     = _fol tl (n - 1 - mid)
in (RBTree B ltr rt rtr, mayremain)

这实际上是我个人实践的一部分：https://github.com/HuStmpHrrr/PFDSPractise/blob/master/src/Tree/RBTree.hs#L97

Answer 3

看看我的递归插入实现（c#）。有 T(n) = 2*T(n/2) + O(1)。 O(1) 用于找到中心：(l+r)/2。所以共谋是 O(n)

public class Tree<T>
  {
    public class TreeNode<T>
    {
      public TreeNode<T> Right { get; set; }
      public TreeNode<T> Left { get; set; }
      public T Data { get; set; }
    }

    public Tree()
    {
      Root = new TreeNode<T>();
    }  

    public TreeNode<T> Root { get; set; }

    private void InsertSortedListRec(IList<T> items, TreeNode<T> curNode, int l, int r)
    {
      var mid = (l + r)/2;
      curNode.Data = items[mid];

      if (mid - 1 >= l)
      {
        curNode.Left = new TreeNode<T>();
        InsertSortedListRec(items, curNode.Left, l, mid - 1);
      }

      if (mid + 1 <= r)
      {
        curNode.Right = new TreeNode<T>();
        InsertSortedListRec(items, curNode.Right, mid + 1, r);
      }
  }

    public void InsertSortedList(IList<T> items)
    {
      InsertSortedListRec(items, Root, 0, items.Count - 1);
    }
  }

我假设我们有索引数组（我们可以将链表转换为数组 O(n)）