Mathematica：如何找到以指数为参数的表达式的最大值

Question

我正在使用 Mathematica 8 寻找表达式最大值的解析解。当我使用 Maximize 命令尝试找到解决方案时，它只是重复我输入的内容，这意味着 Mathematica 不知道如何执行此操作。我已将问题范围缩小到：似乎如果有一个指数是参数，则最大化不起作用。这是一个例子。这是伯努利试验的似然函数，其中 a 和 b 是成功和失败的结果。

Maximize[{t^a*(1 - t)^b, {t >= 0, t <= 1, a > 0, b > 0}}, {t}]

在这种情况下，我想要得到的解决方案是 a/(a+b) 。如果我提供像 3 和 2 这样的常量而不是 a 和 b 那么它就会找到解决方案。

是否有不同的方法来指定表达式或约束，以便 Mathematica 可以找到指数为参数的表达式的最大值？我觉得我缺少一些东西，因为这太简单了。

Answer 1

我一直在玩它，即移动条件、更改表达式形式、删除条件，但我也无法让 Maximize 发挥作用。但是，这可以直接解决，如下

Solve[ D[ t^a (1 - t)^b, t ] == 0, t]

所示，正如您所说， {{t -> a/(a + b)}}。有时 Reduce 可用于帮助理解为什么像 Maximize 这样的函数会通过提供更完整的解决方案空间来表现出错误的行为。它的调用方式类似于 Solve，如下所示，

Reduce[ D[ t^a (1 - t)^b, t ] == 0, t]

在

((-1 + t) t != 0 && a == 0 && b == 0) || 
 (a + b != 0 && a b != 0 && t == a/(a + b)) || 
 (Re[b] > 1 && t == 1) || 
 (Re[a] > 1 && t == 0)

本例中，这并没有多大帮助。

Answer 2

Mathematica 中的 Maximize 函数应用于指数函数，只有在对所有参数（在您的情况下是 a、b 和 t）进行最大化时才有效。现在，您只能最大化 t，这是行不通的。

考虑这个简单的例子（使用 Mathematica 8.0）：

Maximize[{Exp[a + b], a <= 1, b <= 1}, {a, b}]
Maximize[{Exp[a + b], a <= 1, b <= 1}, {a}]
Maximize[{a + b, a <= 1, b <= 1}, {a}]