两个未知数 3 个方程

Question

我有3个eqns和2个未知数Hb和Hbo2，它们看起来像这样：

Bxy = AB * HB + AB * Hbo2

Rxy = AR * HB + AR * Hbo2

Gxy = AG * HB + AG * Hbo2

现在我一直在尝试使用矩阵方法来求解方程的未知数，这是一个痛苦的事情，因为当我将其转换为矩阵形式时，我得到一个不规则矩阵，因为它有两个未知数并且3个方程。

这里有人知道如何解 n 个具有 n-1 个未知数的方程吗？

编辑

感谢您迄今为止的回复，他们非常棒。

为了使这一点更清楚，我想做的是计算图像中给定像素处的含氧和脱氧血液的浓度。所以上面的变量对应于下面的变量。

Rxy Gxy 和 Bxy，红绿或蓝在位置 x,y 处被吸收。 （值在 0 - 255 之间）

AR、AG、AB 是血液对红绿光和蓝光波长的光吸收系数。 （但是，我可能必须为含氧血液和脱氧血液定义不同的吸收系数（因为它们吸收不同量的光））。

Hb 和 Hbo2 是含氧和脱氧血液的浓度。 （这些是未知的，因为我试图将 RGB 值映射到此）

但是我也注意到含氧血液和脱氧血液的系数不同，因此这意味着方程可能如下。

Bxy = (ABhb * HB) + (ABhbo2 * Hbo2)

Rxy = (ARhb * HB) + (ARhbo2 * Hbo2)

Gxy = (AGhb * HB) + (AGhbo2 * Hbo2)

上面唯一的区别是系数是含氧血液和脱氧血液不同。

这是我在计算机科学大学的最后一年项目的一部分，试图做一些功能成像。

@Chris 如果有不同的系数，同样适用，抱歉缺乏理解，数学不是我的强项。只是想编写这个算法。

Answer 1

您可能想要的是所谓的最小二乘解决方案（请参阅有关一般问题的部分）< /a>.总而言之，当您尝试在此处求解 A*x=b 时，无法保证根据您的 A 和 b 获得精确的解。

但是，通过计算 xLS = inv(A'*A)*A'*b，您将得到尽可能接近解的结果（在最小二乘意义上）。请注意，A' 表示 A 的转置。另请注意，如果 A'*A 不可逆，那么您的方程组是秩亏的（这意味着您的方程实际上比您想象的要少。）

如果您有：

 Bxy = (ABhb * HB) + (ABhbo2 * Hbo2)
 Rxy = (ARhb * HB) + (ARhbo2 * Hbo2)
 Gxy = (AGhb * HB) + (AGhbo2 * Hbo2)

则：

 A = [ ABhb  ABhbo2 
       ARhb  ARhbo2 
       AGhb  AGhbo2 ];

 x = [HB
      Hbo2];


 b = [Bxy
      Rxy
      Gxy];

Answer 2

如果你有 n 个方程和 n-1 个未知数，这意味着你可以消除其中一个方程，它是不相关的并且依赖于其他两个方程。找出最容易消除、替换的一个，然后剩下一个 (n-1)x(n-1) 矩阵，

假设所有三个方程都有一个解，也就是说，只需求解即可找到它其中两个得到两个未知数。

在这种情况下，除了系数之外，似乎所有方程都或多或少相等，所以我认为您选择排除三个方程中的哪一个并不重要。您可以简单地删除 Gxy 方程并最终得到 2x2 对：

Bxy = AB * HB + AB * Hbo2

Rxy = AR * HB + AR * Hbo2

产生矩阵

[AB AB]

[AR AR]

Answer 3

表达式 HB+Hbo2 在所有 3 个方程中都是相同的，并且可以用 z=HB+Hbo2 代替，使三个方程

B = AB*z
R = AR*z
G = AG*z

求解 z 执行最小二乘适合找到

z = HB + Hbo2 = (AB*B+AG*G+AR*R)/(AB*AB+AG*AG+AR*AR)

每个组件的错误，

dB = B - AB*z
dR = R - AR*z
dG = G - AG*z

这就是您所能做的。您必须以某种方式决定如何将 z 拆分为 HB 和 Hbo2。问题陈述中没有给出有关此的信息。