什么数学方法适用于 2d 到 2d 函数的插值？

Question

所以我们有一个

12,32
24,12
...

长度为 2xN 的矩阵和另一个

44,32
44,19
...

长度为 2xN 的矩阵，并且有一些函数 f(x, y) 返回 z[1], z[2]。我们得到的 2 个矩阵代表 x、y 和 z[1]、z[2] 的已知值对。在这种情况下有什么帮助的插值公式？

Answer 1

如果你解决一个返回值的问题，你可以通过插值找到两个函数f_1(x,y)和f_2(x,y)，并将你的函数组成为f(x, y) = [f_1(x,y), f_2(x,y)]。只需选择适合您的问题的任何方法来求解插值函数即可。

对于二维的实际插值问题，有很多方法可以处理。如果您需要简单，则可以使用线性插值。如果您可以使用分段函数，则可以使用贝塞尔曲线或样条曲线。或者，如果数据是均匀的，您可以使用简单的多项式插值（嗯，在二维中不是很简单，但足够简单）。

---

编辑：更多信息和一些链接。

使用双线性插值(wikipedia)可以实现分段解决方案。

对于多项式插值，如果您的数据在网格上，您可以使用以下算法（我找不到它的参考，它来自内存）。

如果数据点位于 k by l 网格上，请按如下方式重写多项式：

f(x,y) = cx_1(x)*y^(k-1) + cx_2(x)*y^(k-2) + ... + cx_k(x)

这里，每个系数 cx_i(x) 也是一个l 次多项式。第一步是通过对网格的每一行或每一列进行插值来找到 k 个 l 次多项式。完成此操作后，您将拥有 l 系数集（或者，l 多项式）作为每个 cx_i(x) 的插值点多项式为 cx_i(x0), cx_i(x1), ..., cx_i(xl) （总共为 l*k点）。现在，您可以使用上述常量作为插值点来确定这些多项式，从而得到结果 f(x,y)。

同样的方法也适用于贝塞尔曲线或样条曲线。唯一的区别是您使用控制点而不是多项式系数。您首先获得一组将生成数据点的样条曲线，然后对这些中间曲线的控制点进行插值以获得曲面曲线的控制点。

---

让我添加一个例子来阐明上述算法。让我们有以下数据点：

0,0 => 1
0,1 => 2
1,0 => 3
1,1 => 4

我们首先拟合两个多项式：一个用于数据点 (0,0) 和 (0,1)，另一个用于 (1, 0) 和 (1, 1)：

f_0(x) = x + 1
f_1(x) = x + 3

现在，我们插值当我们垂直读取这些多项式系数时，我们需要两个多项式。 1 在 0 和 1 处评估为 1；另一个在 0 处计算结果为 1，在 1 处计算结果为 3：

cy_1(y) = 1
cy_2(y) = 2*y + 1

如果我们将它们组合成 f(x,y)，我们会得到：

f(x,y) = cy_1(y)*x + cy_2(y)
       = 1*x + (2*y + 1)*1
       = x + 2*y + 1