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仅给定一个 3d 向量构建正交基

发布于 2024-12-09 18:42:50 字数 236 浏览 0 评论 0原文

我正在寻找一种简单有效的方法来解决以下问题：

我有一个 3d 向量，我想获得一个正交基 (x, y, < strong>z)，其中基向量之一（假设x）是给定向量。所以我正在寻找两个彼此垂直的向量，它们也垂直于我给定的向量。

我知道这有无穷多个解，但我不在乎得到哪一个，只要它满足上述要求并且得到它是简单而高效的。

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少女七分熟 2024-12-16 18:42:50

我们将 x 称为单位向量。调用u = (1,0,0)。如果dot(u,x) ~= 0，则取u = (0,1,0)。然后，y = x ^ u 和 z = x ^ y。

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空‖城人不在 2024-12-16 18:42:50

要摆脱 Tibur 的 if，您可以通过使用便宜的 mul+float 转换来获得轻微的改进，

y = x ^ u
y.z += float(y==0); // this changes a zero-vector into (0,0,1)
z = x ^ y

在叉积之后进行向量比较可以为您提供比检查是否 u == x 更稳定的解决方案，float 转换取决于您的体系结构，但适用于大多数编译器/平台。

基本上，当 x 与 u 共线时，这种基函数总是具有奇点，因此请尝试从上下文中明智地选择 u，记住 u 不必是常数。在大多数情况下，您可以选择 u 来与一个简单的情况一致，这样您就可以消除奇点并保持整体变换的稳定。

To get rid of Tibur's if, you can get a slight improvement by using a cheap(er) mul+float cast

y = x ^ u
y.z += float(y==0); // this changes a zero-vector into (0,0,1)
z = x ^ y

Doing a vector-compare after the cross product gives you a more stable solution than checking if u == x, the float cast depends on your architecture, but works in most compilers/platforms.

Basically this kind of base function will always have a singularity when x is co-linear with u, so try to pick u wisely from the context, remember that u does not have to be a constant. In most cases you can choose u to coincide with a trivial case so you smooth out the singularity and keep your overall transform stable.

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