可以以浮点格式存储多少个不同的值？

Question

我对 IEEE 754-2008 的假设：

binary16 - 2^16 不同的值， binary32 - 2^32 个不同的值， ... binary128 - 2^128 个不同的值。

这是正确的吗？

Answer 1

这是一个技巧问题。

浮点格式定义了一些特殊值。您是否认为这些是不同的取决于您的观点。以下是双精度（binary64）的情况：

1. 0 有两种表示形式：符号位为 0 或 1，指数和尾数均为零。这些值的区别在于 1/+0 = 无穷大和 1/-0 = -无穷大。但他们比较起来是平等的。
2. 有 2 个无穷大，其中前 12 位为 0x7ff 或 0xfff，尾数全为零。这些不是有限实数，但它们是值。
3. 存在整个范围的非数字 (NaN) 值，具有符号+指数位 0x7ff（表示 NaN）或 0xfff（“安静”NaN）和非零尾数。同样，这些不是实数，但它们是可区分的值。

因此，总结一下：

1. 可区分值（实数或其他）的总数是 2^64。
2. 不同实数的数量（排除无穷大且仅计算零一次）为 2*(2^11-1)*2^52-1 = 18,437,736,874,454,810,623。

对于binary16，不同实数的数量为2*(2^5-1)*2^10-1 = 63,487。对于binary32，它是2*(2^8-1)*2^23-1=4,278,190,079。对于binary128，它是2*(2^15-1)*2^112-1或大约3.4*10^38。