matlab中矩阵的det返回0

Question

我已经得到一个非常大的矩阵（我无法更改矩阵的值），我需要计算（协方差）矩阵的逆矩阵。

有时我会收到错误消息，

 Matrix is close to singular or badly scaled.
     Results may be inaccurate

在这些情况下，我看到 det 的值返回 0。

在计算（协方差矩阵的）逆矩阵之前，我想检查 det 的值并执行类似的操作

covarianceFea=cov(fea_class);
covdet=det(covarianceFea);
if(covdet ==0)
    covdet=covdet+.00001;
    %calculate the covariance using this new det
end 

有没有办法使用new det 然后用它来计算协方差矩阵的逆矩阵？

Answer 1

叹。计算行列式来确定奇点是一件荒谬的事情，完全如此。对于大矩阵尤其如此。抱歉，但确实如此。为什么？是的，有些书告诉你这样做。也许甚至是你的导师。

分析奇点是一回事。但是奇点的数值确定又如何呢？除非您使用符号工具，否则 MATLAB 使用浮点运算。这意味着它将数字存储为浮点、双精度值。这些数字的大小不能小于

>> realmin
ans =
  2.2251e-308

（实际上，MATLAB 在非规范化数字方面比该数字要低一些，可以下降到大约 1e-323。）请注意，当我尝试存储小于该数字时，MATLAB认为它为零。

>> A = 1e-323
A =
  9.8813e-324

>> A = 1e-324
A =
     0

大矩阵会发生什么？例如，这个矩阵是奇异的吗：

M = eye(1000);

由于 M 是单位矩阵，因此它相当明显是非奇异的。事实上，det 确实表明它是非奇异的。

>> det(M)
ans =
     1

但是，将其乘以某个常数。这是否使它变得非单一？不！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！！当然不是。但无论如何都要尝试一下。

>>     det(M*0.1)
ans =
     0

唔。这很奇怪。 MATLAB 告诉我行列式为零。但我们知道行列式是1e-1000。哦是的。天哪，1e-1000 比我刚刚向您展示的 MATLAB 可以存储为双精度数的最小数字要小很多。因此行列式下溢，即使它显然不为零。矩阵是奇异的吗？当然不是。但是 det 的使用在这里会失败吗？当然会，而且这完全是预料之中的。

相反，使用一个好的工具来确定奇点。使用 cond 或rank 等工具。例如，我们可以愚弄排名吗？

>> rank(M)
ans =
        1000

>> rank(M*.1)
ans =
        1000

看到等级知道这是一个满等级矩阵，无论我们是否缩放它。 cond 也是如此，计算 M 的条件数。

>> cond(M)
ans =
     1

>> cond(M*.1)
ans =
     1

欢迎来到浮点运算的世界。哦，顺便说一句，忘记 det 作为几乎所有使用浮点算术的计算的工具。这几乎总是一个糟糕的选择。

Answer 2

Woodchips 已经给了你一个很好的解释为什么你不应该使用行列式。这似乎是一个常见的误解，您的问题与求逆矩阵的另一个问题非常相关： 在Matlab中是否有一种快速的方法来反转矩阵？，其中OP决定因为他的矩阵的行列式是1，所以它绝对是可逆的！这是我的回答的一个片段

它不是 det(A)=1，而是 矩阵的条件数决定了逆矩阵的精确度或稳定性。请注意，det(A)=∏i=1:n λi。因此只需设置 λ1=M、λn=1/M 和 λ i≠1,n=1 将为您提供 det(A)=1。但是，如 M → ∞、cond(A) = M2 → ∞ 和 λn → 0，意味着你的矩阵正在接近奇点，并且在计算逆矩阵时会出现很大的数值误差。

您可以使用以下简单示例在 MATLAB 中对此进行测试：

A = eye(10);
A([1 2]) = [1e15 1e-15];

%# calculate determinant
det(A)
ans =

     1

%# calculate condition number
cond(A)
ans =

   1.0000e+30

Answer 3

在这种情况下，计算倒数并不是一个好主意。如果您必须这样做，我建议使用它来提高显示精度：

format long;

其他建议可能是尝试使用矩阵的 SVD 并在那里修改奇异值。

A = U∑V'
inv(A) = V*inv(∑)*U'

Σ 是一个对角矩阵，您将看到其中一个对角线条目接近 0。如果您想要某种近似值，请尝试使用这个数字。