简单的 3D 投影和方向处理？

Question

我目前正在开发一款古怪的复古飞行模拟游戏，我的 3D 项目遇到了一些问题，因为我找不到任何关于该主题的可靠通用文档。

给定以下信息，如何将游戏世界中的简单位置向量转换为屏幕上的二维向量：

摄像机位置 相机方向（见下文） 视野 屏幕的高度和宽度（以及纵横比）

我也在寻找一种存储方向的方法，我已经编写了一个基本的矢量库，但我不确定如何存储在两个相机中使用的旋转（和投影代码）以及游戏中对象旋转的实际处理。我目前正在考虑使用四元数，但是是否可以（并且容易）使用四元数而不是矩阵进行投影变换？

有没有关于代码中实现四元数的好资源？我是否必须为复数编写一个单独的库？

感谢您的时间和任何帮助:)

Answer 1

注意：长答案！

我在 Love2D 中完成了一个类似的项目，它运行得非常快，所以我不认为自己在 Lua 中进行数学计算而不是使用 OpenGL（OpenGL 不是）有什么问题。反正没暴露）。

与评论相反，您不应该灰心。一旦您掌握了 3D 方向和透视背后的数学原理，实际上就非常简单了。

对于方向来说，四元数可能有点过分了。我发现要进行旋转 3D 投影，只需要 Vec2、Vec3 和 Camera 类。虽然在数学上存在一些细微的差异，但在实用中，向量的向量可以构成完全合适的变换矩阵，而变换矩阵可以构成完全合适的方向。矩阵是向量的向量，其优点是您只需要编写一个类来处理两者。

要投影矢量 v，请考虑相机的 3 个参数：

• loc、表示相机位置
• trans Vec3 code>，一个 Mat3by3（也称为 Vec3 的 Vec3），用于相机的逆方向
  • （免责声明：使用矩阵进行相机方向在技术上被认为是有害的，因为小的舍入误差可能会累积，但在实际使用中没有问题）
• zoom，用于确定视角的缩放因子。 z（相对于相机）的zoom相当于处于2D；也就是说，从角度来看没有缩放。

投影的工作原理如下：

function Camera:project(v)
    local relv -- v positioned relative to the camera, both in orientation and location
    relv = self.trans * (v - self.loc) -- here '*' is vector dot product
    if relv.z > 0 then
        -- v is in front of the camera
        local w -- perspective scaling factor
        w = self.zoom / relv.z
        local projv -- projected vector
        projv = Vec2(relv.x * w, relv.y * w)
        return projv
    else
        -- v is behind the camera
        return nil
    end
end

假设 Vec2(0, 0) 对应于窗口的中心，而不是角落。设置它是一个简单的翻译。

trans 应以单位矩阵开始：Vec3(Vec3(1, 0, 0), Vec3(0, 1, 0), Vec3(0, 0, 1)) 并增量计算，每次方向改变时进行小的调整。

我感觉你已经了解矩阵的基础知识，但如果你不知道，想法是这样的：
矩阵是向量的向量，至少在这种情况下，可以将其视为坐标系。每个向量都可以被视为坐标系的一个轴。通过更改矩阵的元素（它们是向量，被视为矩阵的列），您可以更改该坐标系中坐标的含义。在正常使用中，向量的第一个分量意味着向右移动，第二个分量意味着向上，第三个分量意味着向前。但是，使用矩阵，您可以使每个分量指向任意方向。 点积的定义为

function Vec3.dot(a, b) return ax * bx + ay + by + az * bz end

对于矩阵

Vec3(axis1, axis2, axis3)<， /code>

给定点积的定义，用向量 v 点缀的矩阵将产生

axis1 * vx + axis2 * vy + axis3 * vz

这意味着第一个v 的元素表示要移动多少个 axis1，第二个元素表示要移动多少个 axis2，第三个元素表示要移动多少个 axis2表示要移动多少个 axis3，如果以标准坐标而不是矩阵坐标表示，则最终结果为 v。当我们将矩阵与向量相乘时，我们正在改变向量分量的含义。从本质上讲，它是诸如“任何以前向右的东西现在都不再向右且更向前”或类似的陈述的数学表达式。在一句话中，矩阵变换了空间。

回到手头的任务，要使用矩阵以角度 theta 表示“俯仰”（即围绕 x 轴）的旋转，您可以编写：

function pitchrotation(theta)
    return Vec3(
        -- axis 1
        -- rotated x axis
        -- we're rotating *around* the x axis, so it stays the same
        Vec3(
            1,
            0,
            0
        ),
        -- axis 2
        -- rotated y axis
        Vec3(
            0,
            math.cos(theta),
            math.sin(theta)
        ),
        -- axis 3
        -- rotated z axis
        Vec3(
            0,
            -math.sin(theta),
            math.cos(theta)
        )
    )
end

对于“偏航”（围绕 x 轴），您可以编写： y 轴）：

function yawrotation(theta)
    return Vec3(
        -- axis 1
        -- rotated x axis
        Vec3(
            math.cos(theta),
            0,
            math.sin(theta)
        ),
        -- axis 2
        -- rotated y axis
        -- we're rotating *around* the y axis, so it stays the same
        Vec3(
            0,
            1,
            0
        ),
        -- axis 3
        -- rotated z axis
        Vec3(
            -math.sin(theta),
            0,
            math.cos(theta)
        )
    )
end

最后“滚动”（绕 z 轴），这在飞行模拟中特别有用：

function rollrotation(theta)
    return Vec3(
        -- axis 1
        -- rotated x axis
        Vec3(
            math.cos(theta),
            math.sin(theta),
            0
        ),
        -- axis 2
        -- rotated y axis
        Vec3(
            -math.sin(theta),
            math.cos(theta),
            0
        ),
        -- axis 3
        -- rotated z axis
        -- we're rotating *around* the z axis, so it stays the same
        Vec3(
            0,
            0,
            1
        )
    )
end

如果您在脑海中想象这对 x、y 和 z 轴的影响，所有这些余弦和正弦以及标志翻转可能会开始 感觉。他们都在那里是有原因的。

最后，我们到达了难题的最后一步，即应用这些旋转。矩阵的一个很好的特性是很容易复合它们。您可以非常轻松地进行变换 - 您只需变换每个轴即可！将现有矩阵 A 转换为矩阵 B：

function combinematrices(a, b)
    return Vec3(b * a.x, b * a.y, b * a.z) -- x y and z are the first second and third axes
end

这意味着，如果您想对相机应用更改，只需使用此矩阵组合机制即可每帧稍微旋转方向。相机类的这些函数将提供一种简单的更改方法：

function Camera:rotateyaw(theta)
    self.trans = combinematrices(self.trans, yawrotation(-theta))
end

我们使用负 theta，因为我们希望 trans 与相机方向相反，以进行投影。您可以使用俯仰和滚动来实现类似的功能。

准备好所有这些构建块后，您就应该准备好在 Lua 中编写 3D 图形代码了。您将想要尝试使用 zoom - 我通常使用 500，但这实际上取决于应用程序。

缺少的一件事是深度测试，如果没有 OpenGL，这确实无法完成。如果您绘制的是线框点以外的任何内容，则没有真正的好方法来确保所有内容都按正确的顺序绘制。您可以进行排序，但效率很低，并且它无法处理某些必须逐像素进行排序的极端情况，而这正是 OpenGL 所做的。

快乐编码！希望这有帮助！