离散傅立叶变换

Question

我目前正在尝试编写一些傅里叶变换算法。我从数学定义中描述的简单 DFT 算法开始：

public class DFT {
    public static Complex[] Transform(Complex[] input) {
        int N = input.Length;

        Complex[] output = new Complex[N];

        double arg = -2.0 * Math.PI / (double)N;
        for (int n = 0; n < N; n++) {
            output[n] = new Complex();
            for (int k = 0; k < N; k++)
                output[n] += input[k] * Complex.Polar(1, arg * (double)n * (double)k);
        }
        return output;
    }
}

因此，我使用以下代码测试了该算法：

    private int samplingFrequency = 120;
    private int numberValues = 240;

    private void doCalc(object sender, EventArgs e) {
        Complex[] input = new Complex[numberValues];
        Complex[] output = new Complex[numberValues];

        double t = 0;
        double y = 0;
        for (int i = 0; i < numberValues; i++) {
            t = (double)i / (double)samplingFrequency;
            y = Math.Sin(2 * Math.PI * t);
            input[i] = new Complex(y, 0);
        }

        output = DFT.Transform(input);

        printFunc(input);
        printAbs(output);
    }

转换工作正常，但前提是 numberValues 是抽样频率的倍数（在本例中：120、240、360） ,...)。这是我对 240 个值的结果：

转型进展顺利。

如果我尝试计算 280 个值，我会得到以下结果：

如果更改计算值的数量，为什么会得到不正确的结果？ 我不确定我的问题是我的代码有问题还是对 DFT 数学定义的误解。无论哪种方式，有人可以帮助我解决我的问题吗？谢谢。

Answer 1

您遇到的情况称为频谱泄漏。

这是因为傅立叶变换的基础数学假定从-无穷大到+无穷大的连续函数。因此，您提供的样本范围实际上会重复无限次。如果窗口中没有完整数量的波形周期，则两端将不会对齐，并且您将得到不连续性，其表现为频率涂抹到任一侧。

处理此问题的正常方法称为窗口化。然而，这确实有一个缺点，因为它会导致幅度略有偏差。这是将要处理的整个样本窗口乘以某个函数的过程，该函数在窗口的两端趋向于 0，导致两端对齐，但会产生一些幅度失真，因为此过程会降低总信号功率。

总而言之，您的代码没有错误，结果也符合预期。可以使用窗函数来减少伪影，但这会影响幅度的准确性。您将需要调查并确定哪种解决方案最适合您的项目要求。

Answer 2

对于非周期性正弦曲线，您不会得到错误的结果。而且它们不仅仅是“文物”。您的结果实际上是更完整的 DFT 结果，这是您在周期性正弦曲线中看不到的。这些其他非零值包含有用的信息，例如可用于对单个非周期性孔径正弦曲线的频率进行插值。

DFT 可以被认为是将矩形窗口与正弦波进行卷积。这会产生（非常接近）一个 Sinc 函数，该函数具有无限的范围，但对于恰好以 DFT bin 为中心的任何正弦曲线，其中心 DFT bin 之外的每个 DFT bin 频率恰好为零。仅当频率在 FFT 孔径中完全具有周期性时才会发生这种情况，而对于其他任何频率都不会发生这种情况。 Sinc 函数有很多“驼峰”，它们都隐藏在您的第一个图中。