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如何找到两条相反的法线或两条线段？

发布于 2024-12-05 23:23:18 字数 268 浏览 6 评论 0原文

我有两个段 AB 和 CD（红色）。这两个部分彼此面对。它们并不完全平行，但也永远不会相互垂直。

由此，我需要找到这些线段（蓝色）的两个彼此相反的法线（即这两个法线位于 ABCD 之外）。我知道如何计算段的法线，但显然每个段都有两个法线，并且我无法弄清楚如何以编程方式选择我需要的法线。有什么建议吗？

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凉月流沐 2024-12-12 23:23:18

计算两条线段中点之间的向量 v，从 AB 指向 CD。现在，AB 所需法线在 v 上的投影必须为负，CD 所需法线在 v 上的投影必须为正。因此，只需计算法线，检查 v，并在需要时对法线取反以使它们满足条件。

这是 Python 中的：

# use complex numbers to define minimal 2d vector datatype
def vec2d(x,y): return complex(x,y)
def rot90(v): return 1j * v
def inner_prod(u, v): return (u * v.conjugate()).real

def outward_normals(a, b, c, d):
    n1 = rot90(b - a)
    n2 = rot90(d - c)
    mid = (c + d - a - b) / 2
    if inner_prod(n1, mid) > 0:
        n1 = -n1
    if inner_prod(n2, mid) < 0:
        n2 = -n2
    return n1, n2

请注意，我假设端点定义了满足问题条件的线。当线条具有相同的中点时，我也不检查边缘情况； “外部”的概念在这种情况下不适用。

Calculate the vector v between the midpoints of the two segments, pointing from AB to CD. Now the projection of the desired normal to AB onto v must be negative and the projection of the desired normal to CD onto v must be positive. So just calculate the normals, check against v, and negate the normals if needed to make them satisfy the condition.

Here it is in Python:

# use complex numbers to define minimal 2d vector datatype
def vec2d(x,y): return complex(x,y)
def rot90(v): return 1j * v
def inner_prod(u, v): return (u * v.conjugate()).real

def outward_normals(a, b, c, d):
    n1 = rot90(b - a)
    n2 = rot90(d - c)
    mid = (c + d - a - b) / 2
    if inner_prod(n1, mid) > 0:
        n1 = -n1
    if inner_prod(n2, mid) < 0:
        n2 = -n2
    return n1, n2

Note that I assume the endpoints define lines meeting the conditions in the problem. Nor do I check for the edge case when the lines have the same midpoint; the notion of "outside" doesn't apply in that case.

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追星践月 2024-12-12 23:23:18

我认为有两种情况需要考虑：

情况 1：线之间的交点发生在任一线段端点之外。

在这种情况下，@Michael J. Barber 建议的中点方法肯定会起作用。因此，在线段的中点之间形成一个向量，计算法线向量与该中点向量的点积并检查符号。

如果您计算 lineA 的法线，则法线与向量 midB -> 的点积为midA 应该是 +ve。

情况 2：线之间的交点发生在一条线段的端点内部。

在这种情况下，在不包围交点的线段的任一端点和交点本身之间形成一个向量。

确实包围交点的线段的法线的点积和这个新向量应该是+ve。

您可以通过要求两个法线之间的点积为 -ve 来找到另一个线段的向外法线（仅在垂直线段的情况下才会不明确）。

我假设这些线段不共线或实际上不相交。

希望这有帮助。

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女皇必胜 2024-12-12 23:23:18

您可以按如下方式减少符号的四种组合：

计算法线的点积，负号表示同时显示在外部或内部。
由于我假设您的法线具有单位长度，因此如果点积的大小为 1，您可以检测到并行性。正值表示两者显示方向相同，负值表示两者显示方向不同。
如果法线不平行：将法线 n 的线参数化为 x(t) = x0 + t * n 并计算 t code> 两者相交。负数 t 表示两者都显示在外面。如果您对其中一个法线执行此操作就足够了，因为您在步骤 1 中将组合从 4 个减少到了 2 个。
如果两个法线平行：计算法线的时间 t击中各段之间的中点。如 2 所示，如果您对其中一个法线执行此操作就足够了，因为您在步骤 1 中将组合从 4 个减少到 2 个。