C# 0-1 已知总和和集合中零个数的背包问题

Question

我有一个 5x5 的值表，从 0 到 3（含），所有值都是未知的。我知道每行和每列的值的总和以及零的数量。我将如何使用 C# 解决这个 0-1 背包问题并检索满足已知总和和零个数的可能解决方案？桌子总是五行五列，所以它不完全是一个传统的背包。

例如，假设我们输入：

Row[0]: Sum=4, Zeros=1
   [1]: Sum=5, Zeros=1
   [2]: Sum=4, Zeros=2
   [3]: Sum=8, Zeros=0
   [4]: Sum=3, Zeros=2

Col[0]: Sum=5, Zeros=1
   [1]: Sum=3, Zeros=2
   [2]: Sum=4, Zeros=2
   [3]: Sum=5, Zeros=1
   [4]: Sum=7, Zeros=0

我们将得到这个作为可能的解决方案：

[[ 0 1 1 1 1 ]
 [ 1 0 2 1 1 ]
 [ 2 1 0 0 1 ]
 [ 1 1 1 2 3 ]
 [ 1 0 0 1 1 ]]

在这种相当奇怪的情况下我应该采用什么类型的算法？我是否还必须编写一个类来枚举排列？

编辑澄清：问题不在于我无法列举可能性；而在于我无法列举可能性。我不知道如何有效地确定添加到任意总和的排列，同时包含指定数量的零和最多 5 个项目。

Answer 1

这是代码。如果您需要任何意见，请随时询问：

using System;
using System.Diagnostics;

namespace ConsoleApplication15
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            RowOrCol[] rows = new RowOrCol[] { 
                new RowOrCol(4, 1),
                new RowOrCol(5, 1),
                new RowOrCol(4, 2),
                new RowOrCol(8, 0),
                new RowOrCol(3, 2),
            };

            RowOrCol[] cols = new RowOrCol[] { 
                new RowOrCol(5, 1),
                new RowOrCol(3, 2),
                new RowOrCol(4, 2),
                new RowOrCol(5, 1),
                new RowOrCol(7, 0),
            };

            int[,] table = new int[5, 5];

            Stopwatch sw = Stopwatch.StartNew();

            int solutions = Do(table, rows, cols, 0, 0);

            sw.Stop();

            Console.WriteLine();
            Console.WriteLine("Found {0} solutions in {1}ms", solutions, sw.ElapsedMilliseconds);
            Console.ReadKey();
        }

        public static int Do(int[,] table, RowOrCol[] rows, RowOrCol[] cols, int row, int col)
        {
            int solutions = 0;

            int oldValueRowSum = rows[row].Sum;
            int oldValueRowZero = rows[row].Zeros;
            int oldValueColSum = cols[col].Sum;
            int oldValueColZero = cols[col].Zeros;

            int nextCol = col + 1;
            int nextRow;
            bool last = false;

            if (nextCol == cols.Length)
            {
                nextCol = 0;

                nextRow = row + 1;

                if (nextRow == rows.Length)
                {
                    last = true;
                }
            }
            else
            {
                nextRow = row;
            }

            int i;

            for (i = 0; i <= 3; i++)
            {
                table[row, col] = i;

                if (i == 0)
                {
                    rows[row].Zeros--;
                    cols[col].Zeros--;

                    if (rows[row].Zeros < 0)
                    {
                        continue;
                    }

                    if (cols[col].Zeros < 0)
                    {
                        continue;
                    }
                }
                else
                {
                    if (i == 1)
                    {
                        rows[row].Zeros++;
                        cols[col].Zeros++;
                    }

                    rows[row].Sum--;
                    cols[col].Sum--;

                    if (rows[row].Sum < 0)
                    {
                        break;
                    }
                    else if (cols[col].Sum < 0)
                    {
                        break;
                    }
                }

                if (col == cols.Length - 1)
                {
                    if (rows[row].Sum != 0 || rows[row].Zeros != 0)
                    {
                        continue;
                    }
                }

                if (row == rows.Length - 1)
                {
                    if (cols[col].Sum != 0 || cols[col].Zeros != 0)
                    {
                        continue;
                    }
                }

                if (!last)
                {
                    solutions += Do(table, rows, cols, nextRow, nextCol);
                }
                else 
                {
                    solutions++;

                    Console.WriteLine("Found solution:");

                    var sums = new int[cols.Length];
                    var zeross = new int[cols.Length];

                    for (int j = 0; j < rows.Length; j++)
                    {
                        int sum = 0;
                        int zeros = 0;

                        for (int k = 0; k < cols.Length; k++)
                        {
                            Console.Write("{0,2} ", table[j, k]);

                            if (table[j, k] == 0)
                            {
                                zeros++;
                                zeross[k]++;
                            }
                            else
                            {
                                sum += table[j, k];
                                sums[k] += table[j, k];
                            }
                        }

                        Console.WriteLine("| Sum {0,2} | Zeros {1}", sum, zeros);

                        Debug.Assert(sum == rows[j].OriginalSum);
                        Debug.Assert(zeros == rows[j].OriginalZeros);
                    }

                    Console.WriteLine("---------------");

                    for (int j = 0; j < cols.Length; j++)
                    {
                        Console.Write("{0,2} ", sums[j]);
                        Debug.Assert(sums[j] == cols[j].OriginalSum);
                    }

                    Console.WriteLine();

                    for (int j = 0; j < cols.Length; j++)
                    {
                        Console.Write("{0,2} ", zeross[j]);
                        Debug.Assert(zeross[j] == cols[j].OriginalZeros);
                    }

                    Console.WriteLine();
                }
            }

            // The for cycle was broken at 0. We have to "readjust" the zeros.
            if (i == 0)
            {
                rows[row].Zeros++;
                cols[col].Zeros++;
            }

            // The for cycle exited "normally". i is too much big because the true last cycle was at 3.
            if (i == 4)
            {
                i = 3;
            }

            // We readjust the sums.
            rows[row].Sum += i;
            cols[col].Sum += i;

            Debug.Assert(oldValueRowSum == rows[row].Sum);
            Debug.Assert(oldValueRowZero == rows[row].Zeros);
            Debug.Assert(oldValueColSum == cols[col].Sum);
            Debug.Assert(oldValueColZero == cols[col].Zeros);

            return solutions;
        }
    }

    public class RowOrCol
    {
        public readonly int OriginalSum;
        public readonly int OriginalZeros;

        public int Sum;
        public int Zeros;

        public RowOrCol(int sum, int zeros)
        {
            this.Sum = this.OriginalSum = sum;
            this.Zeros = this.OriginalZeros = zeros;
        }
    }
}

Answer 2

它必须有多快？我刚刚测试了一个天真的“尝试几乎所有事情”，并进行了一些早期中止，但比可能的要少，而且速度相当快（不到一毫秒）。它给出了解决方案：

[[ 0 1 1 1 1 ]
 [ 1 0 1 1 2 ]
 [ 1 0 0 1 2 ]
 [ 2 1 2 2 1 ]
 [ 1 1 0 0 1 ]]

如果这是您可以接受的解决方案，我可以发布代码（或者只是讨论它，它非常冗长，但基本思想很微不足道）

编辑：它也可以轻松扩展以枚举所有解决方案。它在 15 毫秒内发现了其中 400 个，并声称没有更多。这是正确的吗？

---

我所做的，是从 0,0 开始，尝试在该位置填写的所有值（0 尽管 min(3, rowsum[0])），填充它（从 rowsum[y] 和 colsum[x 中减去它） ] 并从 rowzero[y] 和 colzero[x] 中减去 1（如果该值为零），然后对 0,1 递归地执行此操作； 0,2; 0,3;然后在 0,4 处，我有一个特殊情况，如果剩余的 rowsum 为非负数，我只需填写它（否则，中止当前尝试 - 即在递归树中向上），以及当 y=4 时类似的情况。同时，当任何 rowsum colsum colzero 或 rowzero 变为负数时，我会中止。

当且仅当所有剩余的行和列和 colzero 和 rowzero 都为零时，当前板才是一个解决方案。所以我只是测试一下，如果是的话，将其添加到解决方案中。它不会因构造而产生任何负条目。