特定分布的 pdf

发布于 2024-12-01 14:57:06 字数 310 浏览 0 评论 0原文

我是 Matlab 新手。我想用 Matlab 检查随机矩阵行列式的所谓“对数定律”，但仍然不知道如何做。

对数定律：

设 A 为大小为 n × n 的随机伯努利矩阵（条目为独立同分布，取值为 +-1，概率为 1/2）。我们可能想要将 (log(det(A^2))-log(factorial(n-1)))/sqrt(2n) 的概率密度函数与高斯分布的 pdf 进行比较。对数定律表明，当 n 接近无穷大时，第一个的 pdf 将接近第二个的 pdf。

我的 Matlab 任务非常简单：检查比较，假设 n=100。有人知道该怎么做吗？

谢谢。

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情未る 2024-12-08 14:57:06

考虑以下实验：

n = 100;                           %# matrix size
num = 1000;                        %# number of matrices to generate

detA2ln = zeros(num,1);
for i=1:num
    A = randi([0 1],[n n])*2 - 1;  %# -1,+1
    detA2ln(i) = log(det(A^2));
end

%# `gammaln(n)` is more accurate than `log(factorial(n-1))`
myPDF = ( detA2ln - gammaln(n) ) ./ sqrt(2*log(n));
normplot(myPDF)

在此处输入图像描述

请注意，对于大型矩阵，A*A 的行列式将太大而无法以双精度数字表示并将返回 Inf。然而，我们只需要行列式的对数，并且存在其他方法来找到这个结果，使计算保持对数规模。

在评论中，@yoda 建议使用特征值 detA2(i) = real(sum(log(eig(A^2))));，我还发现了一个在具有类似实现的 FEX 上提交（使用 LU 或 Cholesky 分解）

Consider the following experiment:

n = 100;                           %# matrix size
num = 1000;                        %# number of matrices to generate

detA2ln = zeros(num,1);
for i=1:num
    A = randi([0 1],[n n])*2 - 1;  %# -1,+1
    detA2ln(i) = log(det(A^2));
end

%# `gammaln(n)` is more accurate than `log(factorial(n-1))`
myPDF = ( detA2ln - gammaln(n) ) ./ sqrt(2*log(n));
normplot(myPDF)

enter image description here

Note that for large matrices, the determinant of A*A will be too large to represent in double numbers and will return Inf. However we only require the log of the determinant, and there exist other approachs to find this result that keeps the computation in log-scale.

In the comments, @yoda suggested using the eigenvalues detA2(i) = real(sum(log(eig(A^2))));, I also found a submission on FEX that have a similar implementation (using LU or Cholesky decomposition)

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