左矩阵除法和 Numpy 求解

Question

我正在尝试将包含 \ 运算符的代码从 Matlab (Octave) 转换为 Python。示例代码

B = [2;4]
b = [4;4]
B \ b

这有效并产生 1.2 作为答案。使用此网页

http://mathesaurus.sourceforge.net/matlab-numpy.html

我将其翻译为：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print lin.solve(B,b)

这给了我一个错误：

numpy.linalg.linalg.LinAlgError: Array must be square

Matlab \ 如何与 B 的非方阵一起工作？

有什么解决办法吗？

Answer 1

来自左矩阵除法的 MathWorks 文档：

如果 A 是一个 m×n 矩阵，其中 m ~= n，B 是一个列向量，其中 m
分量，或具有多个此类列的矩阵，则 X = A\B 是
欠定或超定的最小二乘解
方程组 AX = B。换句话说，X 最小化范数(A*X - B)，
向量 AX - B 的长度。

。numpy 中的等效项是 np.linalg.lstsq：

In [15]: B = np.array([[2],[4]])

In [16]: b = np.array([[4],[4]])

In [18]: x,resid,rank,s = np.linalg.lstsq(B,b)

In [19]: x
Out[19]: array([[ 1.2]])

Answer 2

当使用 \ 运算符时，Matlab 实际上会执行许多不同的操作，具体取决于所涉及矩阵的形状（请参阅

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])
print np.linalg.lstsq(B,b)[0]

这应该为您提供与 Matlab 相同的解决方案。

Answer 3

您可以形成左逆：

import numpy as np
import numpy.linalg as lin
B = np.array([[2],[4]])
b = np.array([[4],[4]])

B_linv = lin.solve(B.T.dot(B), B.T)
c = B_linv.dot(b)
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

实际上，我们可以简单地运行求解器一次，而不形成逆，如下所示：

c = lin.solve(B.T.dot(B), B.T.dot(b))
print('c\n', c)

结果：

c
 [[ 1.2]]

...像以前一样

为什么？因为：

我们有：

乘以 BT，得到：

现在，BTdot(B) 是正方形，满秩，确实有逆。因此，我们可以乘以 BTdot(B) 的倒数，或者使用求解器（如上所述）来得到 c。