计算存储十进制数所需的位数

Question

考虑无符号整数表示。有多少位 需要存储包含以下内容的十进制数：

i) 3 digits ii) 4 digits iii) 6 digits iv) n digits

我知道无符号整数的范围是 0 到 2^n，但我不明白表示数字所需的位数如何取决于它。

Answer 1

那么，您只需计算每种情况的范围，并找到高于该范围的 2 的最低幂。

例如，在i)中，3位十进制数字-> 10^3 = 1000 个可能的数字，因此您必须找到高于 1000 的 2 的最低幂，在本例中为 2^10 = 1024（10 位）。

编辑：基本上，您需要找到可能的数字的数量以及您拥有的位数，然后找到哪些数字（在其他基数中，在本例中为基数 2，二进制）至少有与十进制中的数字相同的可能数字。

要计算给定位数的可能性数量：possibilities=base^ndigits

因此，如果您有 3 位十进制数字（以 10 为基数），则您有 10^3=1000 > 可能性。然后你必须找到一些二进制数字（位，基数为 2），使得可能性的数量至少为 1000，在本例中为 2^10=1024 （9 位数字不是还不够，因为 2^9=512 小于 1000）。

如果你概括这一点，你有：2^nbits=possibilities <=> nbits=log2(possibilities)

应用于 i) 给出： log2(1000)=9.97 并且由于位数必须是整数，因此必须将其四舍五入到 10 。

Answer 2

存储 n 个整数（例如，0 到 n - 1）所需的二进制位数的公式为：

log_e(n) / log_e(2)

并四舍五入。

例如，对于值 -128 到 127（有符号字节）或 0 到 255（无符号字节），整数的数量为 256，因此 n 为 256，从上面的公式得出 8。

对于0到n，在上式中使用n + 1（有n + 1个整数）。

在计算器上，log_e 可能仅标记为 log 或 ln（自然对数）。

Answer 3

以 b 为基数的 n 位数字可以表示的最大数字是 bⁿ - 1。因此，可以用N个二进制数字表示的最大数字是2^N - 1。我们需要最小的整数N，这样：

2^N - 1 ≥ bⁿ - 1
⇒ 2^N ≥ bⁿ

最后一个表达式两边取以 2 为底的对数，得到：

log₂ 2^N ≥ log₂ bⁿ
⇒ N ≥ log₂ bⁿ
⇒ N ≥ log bⁿ / log 2

由于我们想要满足最后一个关系的最小整数N，所以要找到N，找到N >log bⁿ / log 2 并获取上限。

在最后一个表达式中，任何底数都可以用于对数，只要两个底数相同即可。这里很方便，因为我们对 b = 10 的情况感兴趣，利用 log₁₀10^{n< 来使用以 10 为底的对数/sup> == n}。

对于n = 3：

N = ⌈3 / log₁₀ 2⌉ = 10

对于 n = 4：

N = ⌈4 / log₁₀ 2⌉ = 14

对于 n = 6：

N = ⌈6 / log₁₀ 2⌉ = 20

一般来说，对于 n 位十进制数字：

N = ⌈n / log₁₀ 2⌉

Answer 4

好吧，概括一下需要多少位来表示一个数字的技术就是这样完成的。您有 R 个符号用于表示，并且您想知道有多少位，请求解此方程 R=2^n 或 log2(R)=n。其中 n 是位数，R 是表示的符号数。

对于十进制数系统 R=9，因此我们求解 9=2^n，答案是每个十进制数字 3.17 位。因此，3 位数字需要 9.51 位或 10 位。1000 位数字需要 3170 位

Answer 5

假设问题是问存储

1. 3 位数字

所需的最小位数是多少，我解决这个问题的方法是：

• 我们需要存储的 3 位数字的最大位数是多少？ Ans: 999
• 存储这个数字最少需要多少位？

这个问题可以通过递归地将999除以2来解决。然而，使用数学的力量来帮助我们更简单。本质上，我们正在求解以下方程的 n：

2^n = 999
nlog2 = log999
n ~ 10

您需要 10 位来存储 3 位数字。

用类似的方法解决其他子问题！

希望这有帮助！

Answer 6

简短的回答是：

int nBits = ceil(log2(N));

这只是因为 pow(2, nBits) 比 N 稍大。

Answer 7

继续将该数字除以 2，直到商为 0。

Answer 8

最简单的答案是将所需的值转换为二进制，并查看该值需要多少位。然而，问题是问 X 位十进制数有多少位。在这种情况下，似乎您必须选择 X 位的最高值，然后将该数字转换为二进制。

作为一个基本示例，假设我们想要存储一个以 10 为基数的 1 位数字，并且想知道需要多少位。最大的1位十进制数是9，所以我们需要将其转换为二进制。得到 1001，总共 4 位。同样的示例可以应用于两位数（最大值为 99，转换为 1100011）。要求解 n 位数字，您可能需要求解其他数字并搜索模式。

要将值转换为二进制，请重复除以二，直到商为 0（所有余数将为 0 或 1）。然后反转余数的顺序以获得二进制数。

示例：13 转为二进制。

• 13/2 = 6 r 1
• 6/2 = 3 r 0
• 3/2 = 1 r 1
• 1/2 = 0 r >1
• = 1101 ((8*1) + (4*1) + (2*0) + (1*1))

希望这对您有所帮助。

Answer 9

设其所需的 n 位，然后 2^n=(base)^digit，然后取 log 并计数。对于 n

Answer 10

对于 n 位二进制数，它可以容纳的最大十进制值为

2^n - 1，并且 2^n 是使用这些数字可以生成的总排列。

考虑一个只需要三位数字的情况，即您的情况 1。我们看到要求是，

2^n - 1 >= 999

将 log 应用于两边，

log(2^n - 1) >= log( 999)

log(2^n) - log(1) >= log(999)

n = 9.964（大约）。

由于 9.964 不是有效位数，因此取 n 的上限值，我们得到 n = 10。

Answer 11

这里有很多答案，但我会添加我的方法，因为我在解决同一问题时发现了这篇文章。

从我们所知道的从 0 到 16 的数字开始。

Number           encoded in bits         minimum number of bits to encode
0                000000                  1
1                000001                  1
2                000010                  2
3                000011                  2
4                000100                  3
5                000101                  3
6                000110                  3
7                000111                  3
8                001000                  4
9                001001                  4
10               001010                  4
11               001011                  4
12               001100                  4
13               001101                  4
14               001110                  4
15               001111                  4
16               010000                  5

查看中断，它显示了这个表格

number <=       number of bits
1               0
3               2
7               3
15              4

那么，现在我们如何计算该模式呢？

请记住，对数基数 2 (n) = 对数基数 10 (n) / 对数基数 10 (2)

number    logb10 (n)   logb2 (n)   ceil[logb2(n)] 
1         0            0           0           (special case)
3         0.477        1.58        2
7         0.845        2.807       3  
8         0.903        3           3           (special case)
15        1.176        3.91        4
16        1.204        4           4           (special case)
31        1.491        4.95        5
63        1.799        5.98        6

现在所需的结果与第一个表匹配。请注意某些值也是特殊情况。 0 和任何 2 的幂的数字。当您应用上限时，这些值不会改变，因此您知道需要加 1 才能得到
最小位域长度。

为了考虑特殊情况，请在输入中添加 1。用 python 实现的结果代码是：

from math import log
from math import ceil
def min_num_bits_to_encode_number(a_number):
    a_number=a_number+1  # adjust by 1 for special cases

    # log of zero is undefined
    if 0==a_number:
        return 0
    num_bits = int(ceil(log(a_number,2)))  # logbase2 is available
    return (num_bits)

Answer 12

这个有效！

floor(loge(n) / loge(2)) + 1

要包含负数，您可以添加额外的位来指定符号。

floor(loge(abs(n)) / loge(2)) + 2

Answer 13

作为 excel/libreoffice 公式：

+----+-------------+--------------+
|..n.+.........2^n.+...LOG(2^n,2).|
+----+-------------+--------------+
|..1.+...........2.+...1..........|
|..4.+..........16.+...4..........|
|..8.+.........256.+...8..........|
|.16.+.......65536.+..16..........|
|.24.+....16777216.+..24..........|
|.30.+..1073741824.+..30..........|
|.31.+..2147483648.+..31..........|
|.32.+..4294967296.+..32..........|
+----+-------------+--------------+

因此，对于 A1=12345，=LOG(A1,2) 给出 14 (2^14 = 16384)