如何将离散信号从时域传输到频域并返回而不丢失数据？

Question

几周来，我一直在尝试实现一个 DFT，它接受任意一组字节并将它们视为信号。然后将它们转换到频域。之后它将它们变回来。它最初只是尝试使用某些分量来重建原始信号。当失败时，我尝试使用所有组件，但仍然失败。

我一直在遵循 维基百科方程 作为如何执行此操作的指南，我的代码似乎匹配给定以下代码的方程（在我的脑海中）：

DFT：

for (int k = 0; k < frequency_domain_magnitude.length; k++) {
    for (int n = 0; n < data.length; n++) {
        double val = (-2.0 * Math.PI * n * k / data.length);
        freq_imag[k] += data[n] * -Math.sin(val);
        freq_real[k] += data[n] * Math.cos(val);
    }
    frequency_domain_magnitude[k] = Math.sqrt(freq_imag[k] * freq_imag[k] + freq_real[k] * freq_real[k]);
}

IDFT：

for (int n = 0; n < data.length; n++) {
    doubleValue[n] = 0;
    for (int k = 0; k < freqUsed.length; k++) {
        double val = (2.0 * Math.PI * n * k / data.length);
        doubleValue[n] = freq_real[k] * Math.cos(val) - freq_imag[k] * Math.sin(val);
    }
    time_real[n] = (byte) (Math.floor(doubleValue[n]));
}

任何人都可以帮助我确定问题是什么？

我之前问过一个关于同一个项目的问题，但它的措辞很糟糕，编辑可能会造成更多的混乱，而不是更少。另外，尽管这个问题可能已经得到解答，但我还有更多问题需要弄清楚。可以找到此处

Answer 1

至少有三件事是错误的：

首先，您没有对 IDFT 中的所有频率求和。这是一个很大很大的问题，基本上相当于只取一个离散频率的IDFT，而不是整个频域数据。
其次，IDFT 中有一个翻转的标志。

将片段 2 的第 5 行更改为

    doubleValue[n] += freq_real[k] * Math.cos(val) + freq_imag[k] * Math.sin(val);

并确保将 doubleValue 初始化为零。

第三，您需要添加标准化步骤；

将片段 2 的第 7 行更改为

time_real[n] = (byte) (Math.floor(doubleValue[n] / data.length))

第四行，为了方便起见，请在截断为整数数据类型之前使用浮点输入和输出测试此浮点算法，并且不要假设您会在往返中获得精确正确的答案关于积分数据——浮点误差是非常真实的。

它还可能有助于获取其他人的 DFT 和 IDFT 实现，并将行为与您在一些非常简单的输入上的实现进行比较，以捕获其他错误。由于 DFT 是线性代数，因此您可能会得到不太正确的结果，但仍然会看到质量上看起来不错的答案。

Answer 2

从数字意义上来说，你不能，因为舍入和/或量化误差几乎总是会在往返过程中产生轻微的差异或信息丢失。

但是，如果正确且完整地实现 DFT 和 IDFT，则可以在该数值误差内重新创建时域数据。 FFT/IFFT 对产生的数值误差可能比 DFT/IDFT 对更小。

如果您丢弃任何项（复虚项或频率箱或其他项），结果将与原始结果相差甚远。例如，如果您的Frequency_domain_magnitude.length或freqUsed.length小于您的数据长度，您将丢弃术语（除非您使用稍微不同的算法和/或比例因子）。

正如 @ellisbben 所提到的，您的 IDFT 中至少存在 1 或 2 个致命的拼写错误。