如何使 DifferenceRoot 和 RecurrenceTable 对于非数值差分方程有用？

Question

今天早上在回答物理论坛问题时，我遇到了 < code>DifferenceRoot 和 RecurrenceTable 与通过简单地采用指数生成函数的导数来计算表达式进行比较。少量的挖掘表明，DifferenceRoot 和 RecurrenceTable 并没有简化表达式。

例如，看看 RecurrenceTable 的以下输出，以及它如何通过仅扩展结果来简化：

In[1]:= RecurrenceTable[f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2] && 
                        f[0] == 0 && f[1] == 1, 
                        f, {n, 6}]
% // Expand

Out[1]= {0, 1, a, -1+a+a^2, -a+a^2+a (-1+a+a^2), 1-a-a^2+a (-1+a+a^2)+a (-a+a^2+a (-1+a+a^2))}
Out[2]= {0, 1, a, -1+a+a^2, -2 a+2 a^2+a^3, 1-2 a-2 a^2+3 a^3+a^4}

这很快就会失控，因为第 20 次迭代的叶计数（使用 DifferenceRoot 计算）显示：

dr[k_] := DifferenceRoot[Function[{f, n}, 
          {f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2], f[0] == 0, f[1] == 1}]][k]

In[2]:= dr20 = dr[20]; // Timing
        dr20Exp = Expand[dr20]; // Timing
Out[2]= {0.26, Null}
Out[3]= {2.39, Null}

In[4]:= {LeafCount[dr20], LeafCount[dr20Exp]}
Out[4]= {1188383, 92}

可以与memoized 进行比较执行

In[1]:= mem[n_] := a mem[n-1] + (a-1) mem[n-2] // Expand
        mem[0] = 0; mem[1] = 1;

In[3]:= mem20 = mem[20];//Timing
        LeafCount[mem20]
Out[3]= {0.48, Null}
Out[4]= 92

所以我的问题是： 是否有任何选项/技巧可以让 DifferenceRoot 和 RecurrenceTable 在它们运行时应用（简化）函数，从而使它们对非数字工作有用？

编辑： Sjoerd 在下面指出，我愚蠢地选择了一个具有 RSolveable 封闭式解决方案的示例。在这个问题中，我主要关心 DifferenceRoot 和 RecurrenceTable 的行为。如果有帮助的话，想象一下 f[n-2] 项乘以 n，这样就没有简单的封闭形式解决方案。

Answer 1

我无法真正帮助您解决问题，因为到目前为止我还没有使用过这些功能，并且文档也没有提供任何线索。但为什么不在这里使用 RSolve 呢？它为表格的每个元素提供了一个封闭形式的解决方案：

sol = f /. RSolve[f[n] == a f[n - 1] + (a - 1) f[n - 2] && 
                  f[0] == 0 && f[1] == 1, f, n
           ][[1, 1]]

sol@Range[6] // Simplify