Mathematica 中的反三角函数范围

Question

让我们假设所有数字都是真实。我试图在mathematica中获取一个区间内ArcSin的所有值。特别是，mathematica 中 ArcSin 的正常行为是 ArcSin[x] 位于 [-Pi/2,Pi/2] 区间内每当 x 在 [-1,1] 区间内为实数时。

但是，我需要获取每个 x 的 [0,2 Pi] 间隔中的所有角度，如上所述。有办法实现这一点吗？

Answer 1

Leonid 的答案中隐含的是公式

In[1]:= Reduce[Sin[x] == y, x]
Out[1]= (x == ArcSin[y] + 2*Pi*C[1] || x == Pi - ArcSin[y] + 2*Pi*C[1]) && Element[C[1], Integers]

从上面两个无限家族解决方案，您可以找到对于任何给定的 y 和可接受的 x 范围满足 y = sin(x) 的角度（请参阅 Leonid 的回答，其中，每次调用时，都会生成上述内容以及额外条件 start <= x <= end 并吐出 x 的所有解决方案。）

显式公式为x 值范围 [0,请

In[2]:= Reduce[Sin[x] == y && 0 <= x < 2 Pi, x]

Out[2]=    (y == -1 && x == (3 Pi)/2) 
        || (y == 1 &&  x == Pi/2) 
        || (-1 < y < 1 && x == Pi - ArcSin[y]) 
        || (-1 < y < 0 && x == ArcSin[y] + 2 Pi) 
        || (0 <= y < 1 && x == ArcSin[y])

注意，前两行是边缘值，中间的线取自上述无限解的一个族，最后两行放在一起取自另一族的解。这与狮子座的评论一致：

对于 Sin 的正值（输入，例如 x），您有 ArcSin[x] 和 Pi >
-ArcSin[x]，而对于 x 的负值，则有 Pi - ArcSin[x]
和2 Pi + ArcSin[x]。

上述公式假定 ArcSin 的主值。

---

主值

在任何 2 pi 周期内，对于给定的 y，Sin[x] == y 有两种解决方案。从 Sin[x]（2 pi 周期）的图表中可以明显看出这一点

拥有唯一的反函数 x = ArcSin[y] 您需要选择您想要的特定解决方案（从两个无限系列中）。 Mathematica 选择标准范围 -Pi/2 < x < Pi/2。这个选择（按照惯例）是反三角函数

Answer 2

您可以尝试如下操作：

Clear[getAngles];
getAngles[x_, interval : {start_, end_} : {0, 2 Pi}] :=
Module[{y},
  Quiet@Cases[
     Reduce[#, y] & /@ 
       LogicalExpand[
         Reduce[Reduce[Sin[y] == x, y] && start <= y < end, y]], (y == 
     yrhs_?NumericQ) :> yrhs, {2}]]

例如：

In[90]:= getAngles[0.7]

Out[90]= {0.775397, 2.3662}

In[92]:= {#, Sin[#]} & /@ getAngles[0.7, {0, 4 Pi}]

Out[92]= {{0.775397, 0.7}, {2.3662, 0.7}, {7.05858, 0.7}, {8.64938, 0.7}}

Answer 3

你不能。正如您所知，ArcSin 是 Sin 函数的反函数，该函数在 [0,2 Pi] 范围内不是双射的。此范围内的某些 x 值会产生相同的 Sin 值（例如，Sin[3/4 [Pi]] == Sin[1/4 [Pi]]），因此您不能扭转这个过程。

您可以在绘图中获得的最接近的结果类似于：

ParametricPlot[{Sin[x], x}, {x, 0, 2 \[Pi]},
   Ticks -> {Automatic, (Range[0, 8] \[Pi]/4)}]
]

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