如何将一组离散数据传输到频域并返回（最好是无损）

Question

我想获取大约大小为 70-80k 的字节数组，并将它们从时域转换到频域（可能使用 DFT）。到目前为止，我一直在关注 wiki 并获得了此代码。

for (int k = 0; k < windows.length; k++) {
        double imag = 0.0;
        double real = 0.0;
        for (int n = 0; n < data.length; n++) {
            double val = (data[n])
                    * Math.exp(-2.0 * Math.PI * n * k / data.length)
                    / 128;
            imag += Math.cos(val);
            real += Math.sin(val);
        }
        windows[k] = Math.sqrt(imag * imag + real
                * real);
}

据我所知，这可以找到每个频率窗口/箱的幅度。然后我穿过窗户找到震级最高的那扇。我向该频率添加了一个标志，以便在重建信号时使用。我检查重建的信号是否与我的原始数据集匹配。如果它没有找到下一个最高频率窗口，并在重建信号时标记要使用的窗口。

这是我用于重建信号的代码，我最确定它是非常错误的（它应该执行 IDFT）：

for (int n = 0; n < data.length; n++) {
        double imag = 0.0;
        double real = 0.0;
        sinValue[n] = 0;
        for (int k = 0; k < freqUsed.length; k++) {
            if (freqUsed[k]) {
                double val = (windows[k] * Math.exp(2.0 * Math.PI * n
                        * k / data.length));
                imag += Math.cos(val);
                real += Math.sin(val);
            }
        }
        sinValue[n] = imag* imag + real * real;
        sinValue[n] /= data.length;
        newData[n] = (byte) (127 * sinValue[n]);
}

freqUsed 是一个布尔数组，用于标记重建信号时是否应使用频率窗口。

无论如何，出现的问题如下：

1. 即使使用所有频率窗口，信号也不会重建。这可能是由于以下事实：...
2. 有时 Math.exp() 的值太高，因此返回无穷大。这使得很难获得准确的计算。
3. 虽然我一直遵循 wiki 作为指导，但很难判断我的数据是否有意义。这使得测试和识别问题变得困难。

脱离问题：

我对此相当陌生，并不完全理解一切。因此，任何帮助或见解都是值得赞赏的。感谢您花时间阅读所有内容，并提前感谢您可以提供的任何帮助。任何帮助真的会很好，即使你认为我正在以最糟糕的方式做这件事，我想知道。再次感谢。

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编辑：

所以我更新了我的代码，使其看起来像：

for (int k = 0; k < windows.length; k++) {
        double imag = 0.0;
        double real = 0.0;
        for (int n = 0; n < data.length; n++) {
            double val = (-2.0 * Math.PI * n * k / data.length);
            imag += data[n]*-Math.sin(val);
            real += data[n]*Math.cos(val);
        }
        windows[k] = Math.sqrt(imag * imag + real
                * real);
}

对于原始变换和：

for (int n = 0; n < data.length; n++) {
    double imag = 0.0;
    double real = 0.0;
    sinValue[n] = 0;
    for (int k = 0; k < freqUsed.length; k++) {
        if (freqUsed[k]) {
            double val = (2.0 * Math.PI * n
                    * k / data.length);
            imag += windows[k]*-Math.sin(val);
            real += windows[k]*Math.cos(val);
        }
    }
    sinValue[n] = Math.sqrt(imag* imag + real * real);
    sinValue[n] /= data.length;
    newData[n] = (byte) (Math.floor(sinValue[n]));
}

对于逆变换。尽管我仍然担心它不能正常工作。我生成了一个包含单个正弦波的数组，它甚至无法分解/重建它。对我所缺少的有什么见解吗？

Answer 1

是的，您的代码（DFT 和 IDFT）已损坏。您对如何使用指数的问题感到困惑。 DFT 可以写成：

       N-1
X[k] = SUM { x[n] . exp(-j * 2 * pi * n * k / N) }
       n=0

其中j 是sqrt(-1)。这可以表示为：

       N-1
X[k] = SUM {   (x_real[n] * cos(2*pi*n*k/N) + x_imag[n] * sin(2*pi*n*k/N))
       n=0  +j.(x_imag[n] * cos(2*pi*n*k/N) - x_real[n] * sin(2*pi*n*k/N)) }

又可以分为：

            N-1
X_real[k] = SUM { x_real[n] * cos(2*pi*n*k/N) + x_imag[n] * sin(2*pi*n*k/N) }
            n=0

            N-1
X_imag[k] = SUM { x_imag[n] * cos(2*pi*n*k/N) - x_real[n] * sin(2*pi*n*k/N) }
            n=0

如果您的输入数据是纯实数，则可以简化为：

            N-1
X_real[k] = SUM { x[n] * cos(2*pi*n*k/N) }
            n=0

            N-1
X_imag[k] = SUM { x[n] * -sin(2*pi*n*k/N) }
            n=0

因此总而言之，您不需要同时使用 exp 和 余弦/正弦。

Answer 2

除了@Oli正确提出的观点之外，您还对时域和频域之间的转换存在根本性误解。您的真实输入信号变成频域中的复杂信号。您不应该获取该值的大小并转换回时域（如果正确完成，这实际上会给您时域自相关，但这不是您想要的）。如果您希望能够重建时域信号，那么您必须保持复数频域信号不变（即单独的实数/虚数分量），并执行复数到实数 IDFT 以返回时域。

例如，您的正向变换应如下所示：

for (int k = 0; k < windows.length; k++) {
        double imag = 0.0;
        double real = 0.0;
        for (int n = 0; n < data.length; n++) {
            double val = (-2.0 * Math.PI * n * k / data.length);
            imag += data[n]*-Math.sin(val);
            real += data[n]*Math.cos(val);
        }
        windows[k].real = real;
        windows[k].imag = image;
}

其中 windows 被定义为复数值数组。