Python 中的数值积分与向量化函数的自适应求积

Question

我正在寻找一个超级数字求积函数。它应该具有以下三个属性：

• 自适应 - 它自动调整采样点的密度以适应被积函数。这是绝对必要的，因为我的被积函数非常不均匀且计算成本昂贵。
• 矢量化 - 为了提高效率，它在样本点列表上调用被积函数，而不是一次调用一个点。
• 能够处理向量值函数 - 向量值被积函数的所有分量同时计算，无需额外成本，因此单独积分所有分量是没有意义的。

此外，它应该是：

• 2D - 我想要计算的积分是平面区域上的二重积分，并且我希望能够为整个积分指定总体（相对）容差，并让它适当地管理误差预算。

有人知道有这样的功能的库吗？即使四种属性中的两种或三种也比没有好。

我正在使用 Python 和 SciPy，所以如果它已经可以与 Python 配合使用，那就太好了。 （但我也可以编写粘合代码，让它在必要时调用我的被积函数。）

Answer 1

我刚刚在 quadpy 中实现了 1D 和 2D 域的矢量化自适应正交。您需要提供的只是您的领域和您想要集成的功能的三角测量。它可以是向量值的。

安装quadpy

pip3 install quadpy

并运行

import numpy
import quadpy


triangles = numpy.array(
    [[[0.0, 0.0], [1.0, 0.0]], [[1.0, 0.0], [1.0, 1.0]], [[0.0, 1.0], [0.0, 1.0]]]
)

val, error_estimate = quadpy.triangle.integrate_adaptive(
    lambda x: [numpy.sin(x[0]), numpy.exp(x[0])], triangles, 1.0e-10
)

print(val)
print(error_estimate)

这给出了

[ 0.45969769  1.71828183]
[  7.10494337e-12   3.68776277e-11]

Answer 2

我使用了这个库，它可以做你想要的一切，除了它是用 C 编写的。但它还有一个 R 接口，所以也许你可以从 Python 调用 R（这是可能的）。

http://ab-initio.mit.edu/wiki/ index.php/Cubature_(Multi-Dimension_integration)

或者，您可以使用 ctypes 调用该库（这不是直接的，但它是可行的）。

Answer 3

quadrature 函数位于 scipy.integrate 满足前两个要求的你在寻找什么。类似的 romberg 函数使用不同的方法。

其他函数仅满足其中一个要求：

• 类似名称的 quad 函数执行自适应求积，但仅支持带有标量参数的函数。您可以向其传递 ctypes 函数以提高性能，但普通的 Python 函数会非常慢。
• simps 函数和相关采样方法可以传递一个（通常是均匀间隔的）样本向量，但不具有自适应性。

您列出的第三个要求（向量值函数的联立积分）有点深奥，并且与首先接受向量化函数的能力相冲突（函数参数必须采用矩阵！）类似地，能够计算二重积分会使函数的指定变得非常复杂。

在大多数情况下，quadrature 函数是最佳选择。