具有重复项的排列的排名和取消排名

Question

我正在阅读有关排列的内容，并且对排名/取消排名方法感兴趣。

来自一篇论文的摘要：

n 个符号的排列的排序函数分配一个唯一的 [0, n! 范围内的整数- 1] 到 n! 个中的每一个！排列。相应的 取消排名函数是逆函数：给定 0 到 n 之间的整数！ - 1、 函数的值是具有该秩的排列。

我使用 next_permutation 在 C++ 中创建了排名和取消排名函数。但这对于n＞8来说是不切实际的。我正在寻找一种更快的方法，并且 factoradics 似乎很受欢迎。 但我不确定这是否也适用于重复项。那么，对重复的排列进行排名/取消排名的好方法是什么？

Answer 1

我将在这个答案中涵盖你的问题的一半 - “取消排名”。目标是有效地找到有序字符串 [abcd...] 的字典顺序“K”排列。

为此，我们需要了解阶乘数系统（factoradics）。阶乘数字系统使用阶乘值而不是数字的幂（二进制使用 2 的幂，十进制使用 10 的幂）来表示位值（或基数）。

位值（基数）为 –

5!= 120    4!= 24    3!=6    2!= 2    1!=1    0!=1 etc..

第零位的数字始终为 0。第一位的数字（基数 = 1！）可以是 0 或 1。第二位的数字（基数为 2！）可以是是 0,1 或 2 等等。一般来说，第n位数字可以取0-n之间的任意值。

前几个数字表示为因数 - 字符串

0 -> 0 = 0*0!
1 -> 10 = 1*1! + 0*0!
2 -> 100 = 1*2! + 0*1! + 0*0!
3 -> 110 = 1*2! + 1*1! + 0*0!
4 -> 200 = 2*2! + 0*1! + 0*0!
5 -> 210 = 2*2! + 1*1! + 0*0!
6 -> 1000 = 1*3! + 0*2! + 0*1! + 0*0!
7 -> 1010 = 1*3! + 0*2! + 1*1! + 0*0!
8 -> 1100 = 1*3! + 1*2! + 0*1! + 0*0!
9 -> 1110
10-> 1200

的第 n 个字典排列与其因数表示之间存在直接关系。

例如，以下是字符串“abcd”的排列。

0  abcd       6  bacd        12  cabd       18  dabc
1  abdc       7  badc        13  cadb       19  dacb
2  acbd       8  bcad        14  cbad       20  dbac
3  acdb       9  bcda        15  cbda       21  dbca
4  adbc       10  bdac       16  cdab       22  dcab
5  adcb       11  bdca       17  cdba       23  dcba

如果仔细观察，我们可以在这里看到一种模式。第一个字母在每 6 次（3！）次排列后发生变化。第二个字母在 2(2!) 排列后发生变化。第三个字母在每（1！）次排列后改变，第四个字母在每（0！）次排列后改变。我们可以利用这个关系直接求出第n个排列。

一旦我们用因子表示法表示 n，我们就会考虑其中的每个数字，并将给定字符串中的一个字符添加到输出中。如果我们需要找到'abcd'的第14个排列。 14 因子 -> 2100.

从第一个数字开始->2，字符串为'abcd'。假设索引从 0 开始，从字符串中取出位置 2 处的元素并将其添加到输出中。

Output                    String
  c                         abd
  2                         012

下一个数字 -> 1.字符串现在是“abd”。再次，选取位置 1 处的字符并将其添加到输出中。

Output                    String
 cb                         ad
 21                         01

下一个数字 -> 0. 字符串是“ad”。将位置 1 处的字符添加到输出。

Output                   String
 cba                        d
 210                        0

下一个数字 -> 0. 字符串是“d”。将位置 0 处的字符添加到输出。

输出字符串
CBAD ''
2100

要将给定数转换为阶乘数制，请依次将该数除以 1、2、3、4、5 等，直到商变为零。每个步骤的提醒形成因子表示。

例如，要将 349 转换为因数，

              Quotient        Reminder       Factorial Representation
349/1            349               0                             0
349/2            174               1                            10
174/3            58                0                           010
58/4             14                2                          2010
14/5             2                 4                         42010
2/6              0                 2                        242010

349 的因数表示为 242010。

Answer 2

一种方法是按一组特定的相同数字对索引的选择进行排序和取消排序，例如，

def choose(n, k):
    c = 1
    for f in xrange(1, k + 1):
        c = (c * (n - f + 1)) // f
    return c

def rank_choice(S):
    k = len(S)
    r = 0
    j = k - 1
    for n in S:
        for i in xrange(j, n):
            r += choose(i, j)
        j -= 1
    return r

def unrank_choice(k, r):
    S = []
    for j in xrange(k - 1, -1, -1):
        n = j
        while r >= choose(n, j):
            r -= choose(n, j)
            n += 1
        S.append(n)
    return S

def rank_perm(P):
    P = list(P)
    r = 0
    for n in xrange(max(P), -1, -1):
        S = []
        for i, p in enumerate(P):
            if p == n:
                S.append(i)
        S.reverse()
        for i in S:
            del P[i]
        r *= choose(len(P) + len(S), len(S))
        r += rank_choice(S)
    return r

def unrank_perm(M, r):
    P = []
    for n, m in enumerate(M):
        S = unrank_choice(m, r % choose(len(P) + m, m))
        r //= choose(len(P) + m, m)
        S.reverse()
        for i in S:
            P.insert(i, n)
    return tuple(P)

if __name__ == '__main__':
    for i in xrange(60):
        print rank_perm(unrank_perm([2, 3, 1], i))

Answer 3

对于大型 ns，您需要任意精度库，例如 GMP。

这是我之前用 python 编写的取消排名函数的帖子，我认为它是可读的，几乎就像伪代码，评论中也有一些解释： 给定字典顺序的元素列表顺序（即['a'，'b'，'c'，'d']），找到第n个排列 - 求解的平均时间？

基于此你应该能够计算出排名函数，基本上是相同的逻辑；）

Answer 4

Java，来自 https://github.com /timtiemens/permute/blob/master/src/main/java/permute/PermuteUtil.java （我的公共域代码，减去错误检查）：

public class PermuteUtil {
 public <T> List<T> nthPermutation(List<T> original, final BigInteger permutationNumber)  {
        final int size = original.size();

        // the return list:
        List<T> ret = new ArrayList<>();
        // local mutable copy of the original list:
        List<T> numbers = new ArrayList<>(original);

        // Our input permutationNumber is [1,N!], but array indexes are [0,N!-1], so subtract one:
        BigInteger permNum = permutationNumber.subtract(BigInteger.ONE);

        for (int i = 1; i <= size; i++) {
            BigInteger factorialNminusI = factorial(size - i);

            // casting to integer is ok here, because even though permNum _could_ be big,
            //   the factorialNminusI is _always_ big
            int j = permNum.divide(factorialNminusI).intValue();

            permNum = permNum.mod(factorialNminusI);

            // remove item at index j, and put it in the return list at the end
            T item = numbers.remove(j);
            ret.add(item);
        }

        return ret;
  }
}