广义特征值问题

Question

我正在尝试将广义特征值问题转换为正常的特征值计算。

我有这样的代码：

[V,D,flag] = eigs(A, T);

现在我将其转换为：

A1 = inv(T)*A;
[V1,D1,flag1] = eigs(A1);

我不应该得到相同的结果吗？根据我在 Matlab 文档中的理解，第一个方程求解：

A*V = B*V*D

第二个方程求解：

A*V = V*D

我遗漏了什么吗？

谢谢！！

Answer 1

一个简单的例子：

A = rand(4); B = randn(4); B = B'*B;         %'# some matrices
[VV,DD] = eig(B\A);
[V,D] = eigs(A,B);
V = bsxfun(@rdivide, V, sqrt(sum(V.*V)));    %# make: norm(V(:,i))==1

结果：

V =
     -0.64581       0.8378      0.77771      0.50851
      0.70571     -0.51601     -0.32503     -0.70623
      0.27278     0.076874     -0.51777      0.25359
      0.10245      0.16095     -0.14641     -0.42232
VV =
     -0.64581       0.8378     -0.77771     -0.50851
      0.70571     -0.51601      0.32503      0.70623
      0.27278     0.076874      0.51777     -0.25359
      0.10245      0.16095      0.14641      0.42232
D =
       17.088            0            0            0
            0      0.27955            0            0
            0            0     -0.16734            0
            0            0            0     0.027889
DD =
       17.088            0            0            0
            0      0.27955            0            0
            0            0     -0.16734            0
            0            0            0     0.027889

注意：特征值的排序并不总是相同，符号约定也可能不同......

Answer 2

首先检查 T 是否可逆。其次，我确定 D = D1 和 V = V1 达到比例因子。检查V1 的每一列是否与V 的相应列在比例因子上相同（即查看V./V1） 。