如何操作数学符号？

Question

这更多的是一个“教育”问题。 :)

虽然，我最终可能想做这样的事情。

所以，假设我有一个方程。任何形式的方程都可以，只要它不是荒谬的，而且是一个擅长数学的人，都可以解出来。

比方说... 0 = (x-1)(x+2)

或... y = (x^2), y = 1/x

或正弦函数等。基本上，就像我们在学校做的那样做数学。

问题是，我该如何编写计算机程序来解决这个问题？我知道这是可能的，因为像 Mathematica、Maple 等程序几十年来一直在这样做！但我找不到任何关于如何制作简单方程求解器的好的文档。

我不期望答案告诉我“这正是你要做的”，因为当然这样的事情是一个完整的大型程序，而不仅仅是一个代码片段。

但只是一般概述，或者一些好的文档的链接？那太好了！谢谢:)

尤其是所需的数据结构和算法。

如果做不到这一点，我只需要弄清楚如何解方程，然后对其进行编码。但这实际上需要几个月的时间才能完成（我以前做过这种事情，将我自己的思维过程形式化为代码，它可以工作，但速度很慢）。

Answer 1

查看一些关于符号操作的论文。

Peter Norvig 的 PAIP 书涵盖了一个非常简单的符号操作和方程求解系统，所以这是值得的一读。它介绍了名为 MacSyma 的人工智能程序的基础知识，该程序最终形成了 Mathematica。

Answer 2

Wolfram Alpha 将是您最容易获得的基准测试。

您的输入是字符串，因此第一步是编写词法分析器/解析器以将这些字符串分解为标记并将它们放入抽象语法树 (AST) 中。

您没有说明要使用哪种语言来实现此功能，但我建议您查看 ANTLR。它是一个解析器生成器，可以帮助您创建 AST。你必须为你的方程想出一个语法。

一旦你有了 AST，你的解算器就会遍历树，并将更具体的操作与“+”、“-”等符号关联起来。你可以处理的运算符越多，你的解算器就会越强大、越全面。

但是，您必须处理或排除许多复杂情况：

1. 并非所有方程都有解。
2. 并非所有方程都有闭式解。
3. 并非所有方程都是线性的。
4. 许多有趣的问题由许多耦合方程组成（想想线性代数）。
5. 当封闭式无法满足您的需求时，您可能需要了解很多有关数值方法的知识。

我建议您从简单的算术和多项式开始，然后逐步提高。史蒂芬·沃尔夫勒姆 (Stephen Wolfram) 并不是一天就能写出 Mathematica 的。

Answer 3

基本技术是在计算机程序中表示数学方程的结构。这与编译器的想法非常相似，但编译器主要将其输入转换为机器可读的格式，而计算机代数系统主要产生与其输入相同格式的输出，但以某种有趣的方式进行转换。无论哪种情况，立即输出都是抽象语法树。下一步将应用一些模式匹配技术（类似于正则表达式的工作原理）以及一些机械转换，以某种有用的方式重写树。

如果您想了解这实际上是如何完成的，SymPy 是一个 Python 符号数学库，它既是开源的，又恰好主要关注该主题的符号操作方面。

Answer 4

除了其他人的有用答案之外：此链接似乎很有趣： http://en.wikipedia.org/ wiki/Pattern_matching 另外，“抽象树语法”似乎很有趣。基本上，它是在语法树上进行“模式匹配”！有点像正则表达式，但用于代码。

我实际上已经编写了自己的“抽象树语法”:) 所以我已经在符号操纵器的道路上走了一小段路。