初等阿贝尔群

Question

我刚刚在维基百科上读到有关基本阿贝尔群的信息，它们似乎与位域相关。当我努力完全掌握时，如果有人能解释我这个特定段落，我将不胜感激位字段。

Answer 1

群 Z/2Z 是集合 {0,1} 以及二元运算 +，其工作原理如下：

0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0

在该段落中，作者指的是组 (Z/2Z)^n，它只是一个有序的 n 位元组：

(b_1, b_2, ..., b_n)

其中 b_i = 0 或1，以及二元运算+ 是按坐标获取的，因此

(b_1, b_2, ..., b_n) + (d_1, d_2, ..., d_n) = (b_1+d_1, b_2+d_2, ..., b_n+d_n)

b_i+d_i 的处理方式与 Z/2Z 中相同。

所讨论的表示为 <= 的偏序是由下式给出的 Z/2Z 上的通常顺序。

0 <= 1

0 <= 0
1 <= 1

最后两个是自反< /em>。此顺序在坐标上扩展为 (Z/2Z)^n，因此

(b_1, b_2, ..., b_n) <= (d_1, d_2, ..., d_n)

当且仅当

b_i <= d_i for every i

例如，当 n=2 时，我们得到以下关系：

(0,0) <= (0,0)
(0,0) <= (0,1)
(0,0) <= (1,0)
(0,0) <= (1,1)

(0,1) <= (0,1)
(0,1) <= (1,1)

(1,0) <= (1,0)
(1,0) <= (1,1)

(1,1) <= (1,1)

注意 (1,0 ) 和 (0,1) 是无法比较，这意味着 (0,1) <= (1,0)也不是 (1,0) <= (0,1)。