浮点数，什么时候出现，如何工作

Question

据我所知float可以精确地表示14个数字。

假设我们有

a = 564214623154
b = 54252

并将其相乘 c=a*b 它应该是 30609771735350808 但编译时它显示我 3.0609771735351E+16 所以据我了解，它应该会失去一些精度，但是当我将 c 除以 a 时 c/a 我得到 564214623154 精确结果，没有任何精度丢失

另一个例子让我们说

c = 30609771735350808 
d = 30609761111111111

e=cd 应该是 10624239697 但编译时它显示我 10624239696 所以精度丢失

那么只有当我减去或添加两个数字时精度才会丢失吗？

如果重要的话我使用 php

Answer 1

乘法和除法也可能会失去精度。 PHP 和 JavaScript 以 IEEE-754 格式存储数字，其中包含 52 位尾数和 11 位指数。有些整数可以精确表示，有些则不然。

让我们试试这些：

在实数中（用 Ruby 生成）：

45345657434523 * 9347287748322342 / 74387422372 = 5697991604786167788

在 PHP 和 JavaScript 中

45345657434523 * 9347287748322342 / 74387422372 = 5697991604786168000

因此，我们也会失去乘法和除法的精度。

编辑：在重新审视OP的问题时，这似乎不是一个很好的答案，因为结果包含超过15位小数位的精度。如果问题的目的是是否对一堆数字进行乘法和除法，每个数字都以 15 位或更少的精度表示，那么最终结果往往会保持很高的精度（前提是不上溢或下溢） 。因此，您可以乘以 1.25E35 * 2.5E7 并精确地得到 3.125e+42，因为 PHP 和 JavaScript 本质上会将有效数字组相乘并将指数相加。但是，如果将这两个值相加，则会得到 1.25E35 + 2.5E7 = 1.25E35。没错，你给一个数字加上 2500 万，它并没有改变！这是因为，正如 OP 所说，您只能获得 14 或 15 位小数位的精度。尝试通过写出 120000000000000000000000000000000000 + 25000000 来手动添加这两个值。 14-15位数字从左边开始数，你无法全部拾取。

底线是加法和减法更容易出现精度问题。很高兴知道。

Answer 2

在第一种情况下，您不会损失任何精度，PHP 只是将较大的数字格式化为浮点数。 （在内部，数字被保存为浮点数。）尝试一下获得“精确”输出：

$a = 564214623154;
$b = 54252;
$c = $a * $b;
printf("%u, %u\n", $c, $c/$a);

接下来，在 c * d 的情况下，您的两个数字已经超出了标准的容量IEEE-64 位浮点数（即 53 位，而您至少需要 55 位），因此在存储这些数字时精度已经丢失。

加法/减法过程中丢失精度的问题称为“取消”：您花费了所有存储空间的所有最重要的位都被取消，并且最终没有足够的准确位来填充 manitssa。这就是生活。

想象一下，您坐在月球上，在英国伍斯特对您兄弟的胡须长度进行了两次测量。比较两个测量值会受到您存储大量精度的要求的影响。