预测乘法的位数

Question

我需要找到非常大的乘法的位数（每个乘法大约 300 位）。我想知道是否有一个技巧可以在不实际执行计算的情况下预测乘积的位数。

Answer 1

可以通过精确计算位数/Math.html#log10%28double%29" rel="nofollow noreferrer">两个被乘数以 10 为底的对数加 1，如下所示：

public static void main(String[] args) {
    DecimalFormat f = new DecimalFormat("#");
    double num1 = 12345678901234567890d;
    double num2 = 314159265358979d;

    // Here's the line that does the work:
    int numberOfDigits = (int) (Math.log10(num1) + Math.log10(num2)) + 1;

    System.out.println(f.format(num1) + " * " + f.format(num2) + " = " + 
        f.format((num1 * num2)) + ", which has " + numberOfDigits + " digits");
}

输出：

12345678901234567000 * 314159265358979 = 3878509413969699000000000000000000, which has 34 digits

这适用于任意大的数字。

Answer 2

Cristobalito 的回答几乎明白了。让我把“关于”说得更精确一些：

假设第一个数字有 n 位，第二个数字有 m 位。它们的最低值分别是 10^(n-1) 和 10^(m-1)。该乘积将是所能达到的最低值，即 10^(m+n-2)，即 m+n-1 位数字。

它们的最高值分别是 10^n - 1 和 10^m - 1。该乘积将是最高的，并且为 10^(n+m) - 10^n - 10^m + 1，最多有 m+n 位。

因此，如果将 n 位数字乘以 m 位数字，则乘积将具有 m+n-1 或 m+n 位。

类似的逻辑也适用于其他基数，例如基数 2。