将变换矩阵拆分为正交矩阵和尺度矩阵

Question

如果我有一个来自缩放、平移和旋转变换的矩阵。我想把这个矩阵分成两个矩阵。一种是旋转+平移矩阵，另一种是缩放矩阵。

因为我想计算正确的法线向量变换，所以我只需要正交矩阵来计算表面法线向量

有什么想法吗？

Answer 1

如果我有一个来自缩放、平移和旋转变换的矩阵。我想把这个矩阵分成两个矩阵。一种是旋转+平移矩阵，另一种是缩放矩阵。

我假设你所说的这个矩阵是一个 4x4 矩阵，被一些人广泛使用，另一些人广泛鄙视，第四行是 0,0,0,1。

我将导致这两个操作“缩放”和“旋转+平移”。请注意：这些操作不可交换。缩放 3 向量，然后旋转/平移该缩放向量会产生与颠倒运算顺序所得到的结果不同的结果。

情况1，操作为“旋转+平移”，然后“缩放”。
令 SR=S*R，其中 S 是具有正对角线元素的 3x3 对角矩阵（缩放矩阵），R 是 3x3 正交旋转矩阵。矩阵 SR 的行将彼此正交，但列将不正交。比例因子是矩阵 SR 的行范数的平方根。

算法：
给定 4x4 矩阵 A，生成 4x4 缩放矩阵 S、4x4 旋转+平移矩阵 T

A = [  SR(3x3)  Sx(3x1) ]
    [   0(1x3)     1    ]

1. 将 A 划分为 3x3 矩阵 SR 和 3 向量 Sx，如上所示。
2. 构造缩放矩阵S。前三个对角元素是矩阵SR的行向量范数；最后一个对角线元素是 1。
3. 通过将 A 的每一行除以相应的比例因子来构造 4x4 旋转+平移矩阵 T。

情况2，操作为“缩放”，然后“旋转+平移”。
现在考虑RS=R*S 的情况。这里 A 的列将彼此正交，但行将不正交。在这种情况下，比例因子是矩阵 RS 的列范数的平方根。

算法：
给定 4x4 矩阵 A，生成 4x4 旋转+平移矩阵 T、4x4 缩放矩阵 S

A = [  RS(3x3)  x(3x1) ]
    [   0(1x3)    1    ]

1. 将 A 划分为 3x3 矩阵 RS 和 3 向量 x，如上所示。
2. 构造缩放矩阵S。前三个对角元素是矩阵RS的列的向量范数；最后一个对角线元素是 1。
3. 通过将 A 的每一行除以相应的比例因子来构造 4x4 旋转+平移矩阵 T。

如果缩放不均匀（例如，将 x 缩放 2、y 缩放 4、z 缩放 1/2），您可以通过查看上面 3x3 矩阵的行和列与 1 的内积来判断运算顺序。其他。最后缩放（我的情况 1）意味着行内积将非常接近于零，但列内积将不为零。首先扩展（我的案例 2）可以扭转这种情况。如果缩放是均匀的，则无法区分哪种情况。你需要提前知道。

Answer 2

只是一个想法 -

• 将矩阵乘以单位向量 (1/sqrt(3),1/sqrt(3),1/sqrt(3))，
• 检查之后向量的长度乘法，
• 按该值的倒数缩放矩阵。现在您有了一个正交矩阵，
• 可以使用您找到的比例创建一个新的比例矩阵。

Answer 3

1. 删除平移以获得 3x3 矩阵
2. 通过 SVD 执行极分解。