3d 中圆上的最近点。缺少什么？

Question

我希望我能够清楚地解释这一点。我正在尝试计算 3D 圆上最近的点。我找到了以下解决方案： http://www.geometrictools.com/Documentation/DistancePoint3Circle3.pdf

我的代码如下（用 Lua 编写）。主要问题是投影Q似乎不正确，或者我不明白如何正确计算它。正如您在论文中所读到的那样，Q 应该是点在圆平面上的投影。

例如，圆的法线为{0,1,0}，圆心位于{3,3,3}。我试图计算到圆的最近距离的点 (p) 位于 {6, 3, 2}。那么，在我的计算中，Q在圆平面上的投影是{6,0,2}。

为了使算法工作，我似乎必须用平面的位置（例如法线方向上的圆心分量）来偏移 Q。在这种情况下，y 方向的值为 3。

我可以将其破解为正常的 {0,1,0}，因为它很容易，但是一旦圆将面向任意位置，我不知道如何计算它。

我错过了什么以及哪里出错了？

function calculatePointCircleDistance(p, circleCenter, circleNormal, circleRadius)
local C = circleCenter
local R = circleRadius
local Q = projectVectorOntoPlane(p, circleNormal)

-- I need to do a fix like this in order to get the calculations right
-- This for example only works with circleNormal {0,1,0}
-- Adding the y component of the circle position to the projection Q
Q[2] = C[2]

if vec3.equal(Q, C) == 1 then
    print("point exacly aligned with center circle")
    return vec3.mag(vec3.sub(C, p)), C
end

-- the following is calculating X=C+R (Q−C / |Q−C|)
local QminC = vec3.sub(Q, C)
local tmp = vec3.scale(vec3.div(QminC, vec3.mag(QminC)), R)
local X = vec3.add(C, tmp)

-- return distance as |X-p| as well as point X
return vec3.mag(vec3.sub(X, p)), X
end



function projectVectorOntoPlane(v, normal)
-- U = V - (V dot N)N
local vProjected = vec3.sub(v, vec3.scale(normal, vec3.dot(v, normal)))
return vProjected
end

Answer 1

我认为，你链接到的那篇论文对这次行动起到了一定的推动作用。

您的问题是 projectVectorOntoPlane 实际上并未将矢量投影到您想要的平面上。它将矢量投影到与所需平面平行但穿过原点的另一个平面上。 （然后您尝试使用 Q[2] = C[2] 解决此问题，但这只会让事情变得更糟。）

平面可以由法线向量一起定义 平面上的某个点，因此您可以像这样编写 projectVectorOntoPlane 函数：

-- Project P onto the plane with normal n containing the point O.
function projectVectorOntoPlane(P, n, O)
    return vec3.sub(P, vec3.scale(n, vec3.dot(vec3.sub(P, O), n)))
end

但是，对于这个问题，最简单的方法是在基于圆圈，所以我建议类似这个：

-- Return a point on the circle with center C, unit normal n and radius r
-- that's closest to the point P. (If all points are closest, return any.)
function pointCircleClosest(P, C, n, r)
    -- Translate problem to C-centred coordinates.
    local P = vec3.sub(P, C)

    -- Project P onto the plane containing the circle.
    local Q = vec3.sub(P, vec3.scale(n, vec3.dot(n, P)))

    -- If Q is at the centre, all points on the circle are equally close.
    if vec3.equal(Q, {0,0,0}) then
        Q = perpendicular(n)
    end

    -- Now the nearest point lies on the line through the origin and Q.
    local R = vec3.sub(P, vec3.scale(Q, r / vec3.mag(Q)))

    -- Return to original coordinate system.
    return vec3.add(R, C)
end

-- Return an arbitrary vector that's perpendicular to n.
function perpendicular(n)
    if math.abs(n[1]) < math.abs(n[2]) then
        return vec3.cross(n, {1,0,0})
    else
        return vec3.cross(n, {0,1,0})
    end
end

哦，您可能会发现使用更好的 vec3 类会更方便，也许是这个，这样你就可以写 P - C 而不是挑剔的vec3.sub(P, C) 等等。