多维空间中的随机单位向量

Question

我正在研究一种数据挖掘算法，我想从特征空间中的特定点选择随机方向。

如果我从 [-1,1] 中为 n 个维度中的每个维度选择一个随机数，然后将向量标准化为长度 1，我会在所有可能的方向上得到均匀分布吗？

我在这里只是在理论上谈论，因为计算机生成的随机数实际上并不是随机的。

Answer 1

一个简单的技巧是从高斯分布中选择每个维度，然后进行归一化：

from random import gauss

def make_rand_vector(dims):
    vec = [gauss(0, 1) for i in range(dims)]
    mag = sum(x**2 for x in vec) ** .5
    return [x/mag for x in vec]

例如，如果您想要一个 7 维随机向量，请选择 7 个随机值（从平均值为 0、标准差为 1 的高斯分布中）。然后，使用毕达哥拉斯公式计算结果向量的大小（对每个值求平方，将平方相加，然后对结果求平方根）。最后，将每个值除以幅度以获得归一化随机向量。

如果你的维数很大，那么这有一个很大的好处，那就是总是立即工作，同时生成随机向量，直到你找到一个恰好小于一的向量，这将导致你的计算机简单地挂在十几维左右，因为他们中任何一个晋级的可能性都变得微乎其微。

Answer 2

使用您描述的算法，您不会获得均匀分布的角度集合。这些角度将偏向 n 维超立方体的角。

这可以通过消除距原点距离大于 1 的任何点来解决。然后，您处理的是球形而不是立方体（n 维）体积，并且您的角度集应该均匀分布在样本空间上。

伪代码：

设 n 为维数，K 为所需的向量数量：

vec_count=0
while vec_count < K
   generate n uniformly distributed values a[0..n-1] over [-1, 1]
   r_squared = sum over i=0,n-1 of a[i]^2
   if 0 < r_squared <= 1.0
      b[i] = a[i]/sqrt(r_squared)  ; normalize to length of 1
      add vector b[0..n-1] to output list
      vec_count = vec_count + 1
   else
      reject this sample
end while

Answer 3

有一个从正态分布中采样的算法的 boost 实现： random ::uniform_on_sphere

Answer 4

我在开发 ML 算法时也遇到了完全相同的问题。
在绘制二维情况的样本并绘制角度的分布结果后，我得到了与 Jim Lewis 相同的结论。

此外，如果您在从 [-1,1] 随机绘制 x 轴和 y 轴时尝试导出 2d 方向的密度分布，您将看到：

f_X(x ) = 1/(4*cos²(x)) 如果 0 < x < 45⁰
和
f_X(x) = 1/(4*sin²(x)) 如果 x > 45⁰

其中 x 是角度，f_X 是概率密度分布。

我在这里写过这个：
https://aerodatablog.wordpress.com/2018/01/14/random -超平面/

Answer 5

#define SCL1 (M_SQRT2/2)
#define SCL2 (M_SQRT2*2)

// unitrand in [-1,1].
double u = SCL1 * unitrand();
double v = SCL1 * unitrand();
double w = SCL2 * sqrt(1.0 - u*u - v*v);

double x = w * u;
double y = w * v;
double z = 1.0 - 2.0 * (u*u + v*v);