将 3D 点转换为 2D

Question

我有一组点 (x1, x2,..xn) 位于由 Ax+ By+Cz+d=0 定义的平面上。 我想找到转换矩阵来平移和旋转到 XY 平面。因此，新的点坐标将为 x1'=(xnew, ynew,0)。

很多答案给出四元数、点或叉积矩阵。我不确定哪一种是正确的方法。

谢谢

Answer 1

首先，除非在你的平面方程中，d=0，否则没有线性变换你可以申请。您需要执行仿射变换。

实现此目的的一种方法是确定要旋转的角度和矢量，以使点集位于与 XY 平面平行的平面中（即，变换后的点集的 Z 分量都具有相同的值）。然后您只需删除 Z 分量即可。

为此，让 V 为包含点的平面的标准化平面法线。为了方便起见，从上面的平面方程定义 Ax+By+Cz+d=0：

V = (A, B, C)
V' = V / ||V|| = (A', B', C')
Z = (0, 0, 1)

其中

A' = A / ||V||
B' = B / ||V||
C' = C / ||V||
||V|| = (A2+B2+C2)1/2

角度将简单地为：

θ = cos-1(Z∙V / ||V||)
  = cos-1(Z∙V')
  = cos-1(C')

围绕其旋转的轴 R 只是标准化平面法线的叉积 < b>V' 和 Z。也就是说，

R = V'×Z
  = (B', -A', 0)

您现在可以使用此角度/轴对来构建旋转所有所需的四元数旋转将数据集中的点映射到与 XY 平面平行的平面。然后，正如我之前所说，只需放下 Z 分量即可在 XY 平面上执行正交投影。

更新： antonakos 在使用 API 获取轴/角度对之前对 R 进行归一化提出了很好的观点。