在 3d 中沿着 Bézier 路径移动对象：旋转问题

Question

在我的 opengl 应用程序中，我在 3d 空间中有一条贝塞尔曲线，我想沿着它移动一个对象。 一切都可以作为旋转的一部分：我在计算它们时遇到一些问题。在我看来，管道应该是这样的：

• 找到贝塞尔曲线上的点（位置向量）
• 找到切线、法线、副法线（frenet框架）
• 找到切线向量和x轴之间的角度
• （法线和y轴以及副法线和z轴相同） ）
• 推动矩阵
• 平移位置，旋转角度，绘制对象
• 弹出矩阵

，但它没有按我的预期进行：旋转似乎是随机的并且不遵循曲线。 有什么建议吗？

Answer 1

Frenet 框架将会出现问题，因为不幸的是，即使曲线暂时是直的，它也是不确定的
（曲率消失），并且它在点周围的方向上表现出剧烈的波动
密切平面法线方向发生重大变化的地方，尤其是在法线翻转的拐点处。

我建议使用称为 Bishop 框架的东西（你可以用 Google 搜索它，并找出如何在离散设置中计算它）。它也称为并行传输框架或最小旋转框架 - 它的优点是框架始终被定义，并且以受控方式改变方向。

我认为 Frenet 框架的问题不一定能解释您遇到的问题。您应该从一些简单的测试用例开始 - 例如，仅限于 XY 平面的贝塞尔曲线，然后逐步进行计算，直到发现问题所在。

Answer 2

无需计算角度，只需将框架推入模型视图矩阵即可。法线、副法线和切线位于矩阵的左上角 3x3，第 4 列中的平移和元素 4,4 为 1。使用已经提到的 Bishop 框架代替 Frenet 框架。所以在代码中：

// assuming you manage your curve in a (opaque) struct Bezier
struct BezierCurve;

typedef float vec3[3];

void bezierEvaluate(BezierCurve *bezier, float t, vec3 normal, vec3 binormal, vec3 tangent, vec3 pos);

void apply_bezier_transform(Bezier *bezier, float t)
{
    float M[16]; // OpenGL uses column major ordering
    // and this code is a excellent example why it does so:

   bezierEvaluate(bezier, t, &M[0], &M[4], &M[8], &M[12]);
   M[3] = M[7] = M[11] = 0.;
   M[15] = 1.;

   glMultMatrixf(M);
}