寻找“离散”接近的浮点数之间的差异

Question

假设我有两个浮点数，x 和 y，它们的值非常接近。

计算机上可以表示离散数量的浮点数，因此我们可以按升序枚举它们：f_1、f_2、f_3、...。我希望找到此列表中 x 和 y 的距离（即它们是 1、2、3、... 或 n 离散的步骤分开？）

是否可以仅使用算术运算（+-*/）而不查看二进制表示来做到这一点？我主要感兴趣的是它在 x86 上的工作原理。

假设 y > ，以下近似值是否正确？ x 并且 x 和 y 仅相距几步（例如，<100）？ （可能不是...）

(y-x) / x / eps

这里 eps 表示机器 epsilon。 （机器 epsilon 是 1.0 和下一个最小浮点数之间的差。）

Answer 1

浮点数是按字典顺序排序的，因此：

int steps(float a, float b){

  int ai = *(int*)&a;  // reinterpret as integer
  int bi = *(int*)&b;  // reinterpret as integer
  return bi - ai;
}

steps(5.0e-1, 5.0000054e-1);  // returns 9

这样的技术在比较浮点数时使用点数。

Answer 2

我认为，您不必直接检查二进制表示形式，但您必须依赖它才能获得准确的答案。

首先使用 frexp() 将 x 分解为指数 exp 和尾数。我相信下一个大于 x 的浮点数是 x + eps * 2^(exp-1)。 （“-1”是因为 frexp 返回 [1/2, 1) 范围内的尾数，而不是 [1, 2)。）

如果 x 和 y 具有相同的指数，则基本上完成。否则，您需要计算 2 的幂有多少步，即 1.0/eps。换句话说，2^n 和 2^(n+1) 之间的步数为 1.0/eps。

因此，对于 y > x，计算从x到下一个2的幂有多少步；然后计算需要多少步才能得到小于 y 的最大 2 次方；然后计算从那里到 y 还需要多少步。我认为，所有这些都可以很容易地用 eps 来表达。