用一个四元数的偏航部分校正另一个四元数的偏航部分

Question

我有以下问题：来自运动捕捉设备的四元数（q1）需要通过第二个跟踪对象导出的另一个方向四元数（q2）的偏航角（并且只有偏航！）进行校正，以便俯仰和滚动q1 的偏航角与之前相同，但 q1 具有 q2 的偏航角。

工作解决方案是将季铵化合物转换为矩阵，然后进行计算以提取旋转角度，然后进行航向校正。但是，当直接沿某个轴的方向（例如，0° - 359°之后）时，这会导致“翻转”。还尝试了其他不方便的转换。

是否有可能直接对四元数进行数学计算，而无需转换为矩阵或欧拉角（即，我可以将校正后的四元数设置为跟踪对象的四元数）？

如上所述 - 校正应包括仅绕上轴旋转（偏航）。关于数学类，我没有太多的编程可能性（不幸的是，Virtools 的 VSL 脚本在这方面非常有限）。有人有什么建议吗？

Answer 1

对于此任务，欧拉角是最好的选择，因为它们的优点（唯一的优点）在于围绕正交轴分离成单独的旋转。因此，将两个四元数转换为适合您需要的欧拉角约定，只需将 q1 的偏航角替换为 q2 的偏航角即可。

当然，您需要使用匹配的欧拉角约定，其中其他旋转不依赖于偏航角（因此在变换点时首先应用偏航旋转？），这样您就可以仅更改角度而不影响其他轴。当将生成的欧拉角三元数转换回四元数时，您应该再次获得唯一的表示形式，还是我遗漏了一些东西？

Answer 2

您可以通过计算偏航部分然后应用其逆来删除四元数的偏航部分。假设您的四元数是 quat(w,x,y,z) == w + xi + yj + zk)，并且偏航是围绕 Z 轴定义的（来自 本文）。

请注意，在这些帧中，绕 Z 轴 yaw 的旋转由四元数 quat(cos(yaw/2), 0, 0, sin(yaw/2))< 表示/代码>。

将四元数分解为欧拉角，我们的偏航为：

yaw = atan2(-2*x*y + 2*w*z, +w*w +x*x -y*y -z*z); // 123 angles (page 24)
yaw = atan2(-2*x*y + 2*w*z, +w*w -x*x +y*y -z*z); // 213 angles (page 28)

由此我们可以得出

quat quat_2yaw = quat(w*w +x*x -y*y -z*z, 0, 0, -2*x*y + 2*w*z).normalize(); // 123 angles
quat quat_2yaw = quat(w*w -x*x +y*y -z*z, 0, 0, -2*x*y + 2*w*z).normalize(); // 213 angles

将四元数的角度减半的一种简单方法是将其添加到恒等四元数并标准化：

quat quat_yaw = (1 + quat_2yaw).normalize();

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回答您原来的问题 - 我们想要获取偏航来自q1，并用它替换q2的偏航。我们可以这样做：

q2 = get_quat_yaw(q1) * get_quat_yaw(q2).conj() * q2;

Answer 3

简短回答：是的，这是可能的。您可以制定旋转（绕任意轴）并使用四元数运算来执行它。

长答案：请参阅有关四元数和旋转的维基百科文章。我猜你描述的问题是万向节锁。

Answer 4

如果您有四元数 Q1 和 Q2 并且您的“向上”方向是 y，那么如果您取出 y > Q1 的分量并重新归一化，然后您将得到一个没有偏航分量的四元数。同样，如果您取出 Q2 的 x 和 z 分量，那么您将得到一个四元数，仅偏航分量。将第二个乘以第一个（使用四元数乘法）即可。

Q1[2] = 0;
normalize4d(Q1);
Q2[1] = 0;
Q2[3] = 0;
normalize4d(Q2);
Q3 = quatMult(Q2,Q1);

当然，您可能需要检查特殊情况，即旋转了恰好（或接近）180 度，因为当您尝试对幅度非常小的向量进行归一化时，这可能会使数值不稳定。