关于绘图过程 - 关于“Mathematica 8 中函数声明的问题”的进一步问题

Question

相关 Mathematica 8 中带有函数声明的问题

Clear["Global`*"]

model = 4/Sqrt[3] - a1/(x + b1) - a2/(x + b2)^2 - a3/(x + b3)^4;
fit = {a1 -> 0.27, a2 -> 0.335, a3 -> -0.347, b1 -> 4.29, b2 -> 0.435,
b3 -> 0.712};

functionB1[x_] = model /. fit;
functionB2[x_] := model /. fit;

评估差异functionB1 和 functionB2 之间的关系可以通过 mma 中的 Trace 命令显示，如下所示：

functionB1[Sqrt[0.2]] // Trace
functionB2[Sqrt[0.2]] // Trace 

我对 functionB1 没有疑问。 令我困惑的是，因为 functionB2[Sqrt[0.2]] 甚至没有给出数字结果，而是给出 x 4/Sqrt[3] 的函数- 0.335/(0.435 + x)^2 + 0.347/(0.712 + x)^4 - 0.27/( 4.29 + x)，那么它的绘图 Plot[functionB2[Sqrt[x]], {x, 0, 1}] 是如何可能的呢？

我的意思是，当你运行 Plot[functionB2[Sqrt[x]], {x, 0, 1}] 时，mma 内部发生的事情是：

x 接受一个数字，比如说 0.2，然后 0.2 最终是传递给 functionB2，但 functionB2 给出的是一个函数，而不是一个数字。那么下图是如何生成的呢？

及其跟踪结果 ( Plot[functionB2[Sqrt[x]], {x, 0 , 1}] // Trace ) 看起来非常不可读。我想知道functionB2的清晰绘图过程。有人可以展示一下吗？

谢谢~:)

Answer 1

定义：

functionB2[x_] := model /. fit

是一条指示 Mathematica 的指令，将所有未来出现的类似 functionB2[x_] 的表达式替换为用参数值替换每次出现的 x 的结果。表达式 model / 中的 code>。适合。但是在model / 中没有出现x。 fit：该表达式中唯一的符号是 model 和 fit（从技术上讲，是 ReplaceAll）。因此，定义返回一个固定结果，model /。适合，无论参数如何。事实上，定义可以简单地是：

functionB2a[] := model /. fit

如果绘制 functionB2a[]，您将得到与绘制 functionB2[anything] 相同的结果。为什么？因为 Plot 将计算该表达式，同时在绘图范围内改变符号 x。碰巧 model /. fit 计算结果为涉及该符号的表达式，因此您可以得到所展示的图。

现在考虑functionB1：

functionB1[x_] = model /. fit

它也表示要替换右侧所有出现的x——但这次右侧是在之前< /em> 定义成立。评估模型/的结果。 fit 是一个确实包含符号x的表达式，因此现在定义对传递的参数值敏感。最终结果就像函数是这样定义的：

functionB1a[x_] := 4/Sqrt[3]-0.335/(0.435+x)^2+0.347/(0.712+x)^4-0.27/(4.29+x)

因此，如果您绘制 functionB1[Sqrt[x]]，Plot 命令将看到表达式：

4/Sqrt[3]-0.335/(0.435 +Sqrt[x])^2+0.347/(0.712 +Sqrt[x])^4-0.27/(4.29 +Sqrt[x])

形式符号

使用SetDelayed建立定义时，形式参数的名称（本例中为x）独立于同一符号在定义之外的任何出现。定义。这样的定义可以使用任何其他符号，并且仍然生成相同的结果。另一方面，使用 Set 建立的定义（例如 functionB1）依赖包含相同符号的右侧的求值结果作为正式论证。这可能是微妙错误的根源，因为必须小心不要使用意外具有预先存在的下值的符号。使用形式符号（在字母和类似字母的形式中描述）进行论证名称可以帮助解决这个问题。

Answer 2

你可以通过尝试来理解发生了什么：

Table[functionB2[Sqrt[y]],{y,0.5,.5,.5}]
Table[functionB2[Sqrt[x]],{x,0.5,.5,.5}]
(*
{4/Sqrt[3] - 0.335/(0.435+ x)^2 + 0.347/(0.712+ x)^4 - 0.27/(4.29+ x)}
{2.03065}
*)

被替换的是 functionB2 定义中的 x，而不是形式参数。

编辑

您得到的情节不是您想要的。 Sqrt[x] 在 functionB2[...] 中被忽略，隐式 x 被替换，如下所示：

Answer 3

SetDelayed 充当作用域构造。如有必要，参数会被本地化。任何显式匹配参数的变量都绑定在此范围内，其他变量则不然。

In[78]:= a[x_] := x^2 + b
         b = x^4;

(* the first x^2 is explicitly present and bound to the argument. 
   The x in x^4 present via b is not bound *)

In[80]:= a[x]

Out[80]= x^2 + x^4 (* this is what you would expect *)

In[81]:= a[y]

Out[81]= x^4 + y^2 (* surprise *)

In[82]:= a[1]

Out[82]= 1 + x^4 (* surprise *)

因此，您可以做的是以下两件事之一：

• 使用 Evaluate: functionB2[x_] := Evaluate[model /. fit];

• 使 model 对 x 的依赖显式：

  In[68]:= model2[x_] =
  4/Sqrt[3] - a1/(x + b1) - a2/(x + b2)^2 - a3/(x + b3)^4;

  In[69]:= functionB3[x_] := model2[x] /。适合；

  In[85]:= functionB3[Sqrt[0.2]]

  Out[85]= 2.01415

编辑因为问题更新
由于您对 functionB2 的定义，任何参数值都会产生相同的结果，如上所述：

In[93]:= functionB2[1]

Out[93]= 4/Sqrt[3] - 0.335/(0.435 + x)^2 + 0.347/(0.712 + 
   x)^4 - 0.27/(4.29 + x)

In[94]:= functionB2["Even a string yields the same ouput"]

Out[94]= 4/Sqrt[3] - 0.335/(0.435 + x)^2 + 0.347/(0.712 + 
   x)^4 - 0.27/(4.29 + x)

但是，此表达式包含 x，因此如果我们为 x 提供数值，它可以获得一个数值：

In[95]:= functionB2["Even a string yields the same ouput"] /. x -> 1

Out[95]= 2.13607

嗯，这基本上是 Plot 也是如此。这就是为什么你仍然会得到一个情节。