将 3D 多边形旋转到 xy 平面，同时保持方向

Question

我有一个以任何方式定向并位于 3d 空间中任何位置的多边形。我需要将多边形转换为 xy 平面，以便可以在 2d 而不是 3d 中对其执行各种操作（特别是生成跨越多边形边界框的点网格），然后将其转换回来。

问题在于变换后的多边形的方向。如果我只想旋转到平面中，我可以获取多边形法线和 xy 平面之间的角度，并围绕与两者正交的轴旋转（叉积）。但是，我要求多边形的边界框的方向应使边界框的底部（最低 z 值）边缘与 xy 平面共面，无论是在变换之前还是之后。换句话说，边界框平齐地放置在与地面平行的一侧。变换后，该边将平行于 x 轴。这样，无论多边形的方向如何，我在表面上生成的点网格将始终具有与地面平行的行。

我的方法是进行两次轮换；首先绕 z 轴旋转多边形平面与 xy 平面的交线与 x 轴之间的角度。这可确保边界框的底部不会移出 xy 平面。然后，再次绕 x 轴旋转多边形（新）法线与 xz 平面之间的角度。步骤如下：

1. 找到多边形平面的方程（从法线）。
2. 找到多边形平面与 xy 平面的交点。这是 xy 平面上的一条线。
3. 求该线与 x 轴之间的角度。
4. 围绕 z 轴将多边形旋转此角度。
5. 确定新常态。
6. 求新法线与 xy 平面法线之间的角度。
7. 将多边形绕 x 轴旋转此角度。
8. 多边形现在应该位于 xy 平面内；使用最大/最小 x 和 y 值生成边界框，生成点网格等，然后将所有内容转换回其开始位置。

我意识到应该组合两次旋转来减少矩阵乘法的次数，但这是通用算法。

我不是图形专家；任何人都可以提供有关这项技术的建议吗？有更好的办法吗？我的方法听起来正确吗？我正在使用 Java 进行开发，并正在考虑使用 Transform3D 类进行旋转。

Answer 1

要处理 3D 多边形，通常会忽略映射的 Z 坐标（这会有效地将平面直接投影到 XY 平面），然后稍后恢复 Z 坐标。

唯一不起作用的情况是原始多边形垂直于 XY 平面，因为生成的贴图会退化为一条线。

Answer 2

您需要以下矩阵将顶点坐标从帧 x0,y0,z0 更改为 x1,y1,z1，并最终进行平移以使原点重合。

     // F0 changes x0,y0,z0 to world X,Y,Z            
     F0[0, 0] = X0.X;
     F0[0, 1] = X0.Y;
     F0[0, 2] = X0.Z;
     F0[1, 0] = Y0.X;
     F0[1, 1] = Y0.Y;
     F0[1, 2] = Y0.Z;
     F0[2, 0] = Z0.X;
     F0[2, 1] = Z0.Y;
     F0[2, 2] = Z0.Z;
     F0[3, 3] = 1.0;

     // F1 changes world X,Y,Z to x1,y1,z1            
     F1[0, 0] = X1.X;
     F1[0, 1] = Y1.X;
     F1[0, 2] = Z1.X;
     F1[1, 0] = X1.Y;
     F1[1, 1] = Y1.Y;
     F1[1, 2] = Z1.Y;
     F1[2, 0] = X1.Z;
     F1[2, 1] = Y1.Z;
     F1[2, 2] = Z1.Z;
     F1[3, 3] = 1.0;

     matrix = F1*F0