快速卷积算法

Question

我需要对两个一维信号进行卷积，一个平均有 500 个点（这个是汉宁窗函数），另一个有 125000 个点。每次运行，我需要应用三倍的卷积运算。我已经有一个基于 scipy 文档运行的实现。如果你愿意的话，你可以在这里看到代码（Delphi 代码在前面）：

function Convolve(const signal_1, signal_2 : ExtArray) : ExtArray;
var
  capital_k : Integer;
  capital_m : Integer;
  smallest : Integer;
  y : ExtArray;
  n : Integer;
  k : Integer;
  lower, upper : Integer;
begin
  capital_k := Length(signal_1) + Length(signal_2) - 1;
  capital_m := Math.Max(Length(signal_1), Length(signal_2));
  smallest := Math.Min(Length(signal_1), Length(signal_2));
  SetLength(y, capital_k);
  for n := 0 to Length(y) - 1 do begin
    y[n] := 0;
    lower := Math.Max(n - capital_m, 0);
    upper := Math.Min(n, capital_k);
    for k := lower to upper do begin
      if (k >= Length(signal_1)) or (n - k >= Length(signal_2)) then
        Continue;
      y[n] := y[n] + signal_1[k] * signal_2[n - k];
    end;
  end;
  Result := Slice(y,
                  Floor(smallest / 2) - 1,
                  Floor(smallest / 2) - 1 + capital_m);
end;

问题是，这个实现太慢了。整个过程大约需要五分钟。我想知道是否可以找到一种更快的计算方法。

Answer 1

快速卷积可以使用 FFT 进行。对两个输入信号进行 FFT（使用适当的零填充），在频域中相乘，然后进行逆 FFT。对于较大的 N（通常 N > 100），这比直接方法更快。

Answer 2

有很多快速卷积算法。他们中的大多数使用 FFT 例程，例如 FFTW。这是因为像卷积这样的运算（在时域中）减少为频域中的乘法（频域表示）。当前需要大约 5 分钟（根据您自己的估计）的卷积运算在您使用 FFT 例程实现卷积后可能只需要几秒钟。

此外，如果滤波器的长度和信号的长度之间存在很大差异，您可能还需要考虑使用重叠保存或重叠添加。更多信息请参见此处。如果在 Delphi 中编码不是最重要的问题，那么您可能想要使用 C/C++，只要 FFTW 和其他一些库在 C/C++ 中可用（不确定 scipy 或 Delphi）。