优化数组求和（子集问题）

Question

在我的程序中最热门的部分（根据 gprof，90% 的时间），我需要将一个数组 A 求和到另一个 B 中。两个数组的大小均为 2^n（n 为 18..24）并保存一个整数（为简单起见） ，实际上存储的元素是mpz_t或小int数组）。求和规则：对于0..2^n-1中的每个i，设置B[i] = sum(A[j])，其中j是位向量，以及j & ~ i == 0 （换句话说，如果 i 的第 k 位是，则任何 j 的第 k 位不能设置为 1不是 1)。

我当前的代码（这是最内层循环的主体）在 2^(1.5 * n) 总和的时间内完成此操作，因为我将在 A 的（平均）2^(n/2) 个元素上迭代每个 i。

  int A[1<<n]; // have some data
  int B[1<<n]; // empty
  for (int i = 0; i < (1<<n); i++ ) {
    /* Iterate over subsets */
    for (int j = i; ; j=(j-1) & i ) {
      B[i] += A[j];  /* it is an `sum`, actually it can be a mpz_add here */
      if(j==0) break;
    }
  }

我提到过，几乎所有总和都是根据之前求和的值重新计算的。我建议，可以有代码，在 n* 2^n 总和的时间内完成相同的任务。

我的第一个想法是 B[i] = B[i_without_the_most_significant_bit] + A[j_new];其中 j_new 仅是 j 具有 i 中处于“1”状态的most_significant 位。这使我的时间减少了一半，但这还不够（实际问题大小仍然需要数小时和数天）：

  int A[1<<n];
  int B[1<<n];
  B[0] = A[0]; // the i==0 will not work with my idea and clz()
  for (int i = 1; i < (1<<n); i++ ) {
    int msb_of_i = 1<< ((sizeof(int)*8)-__builtin_clz(i)-1);
    int i_wo_msb = i & ~ msb;
    B[i] = B[i_wo_msb];
    /* Iterate over subsets */
    for (int j_new = i; ; j_new=(j_new-1) & i ) {
      B[i] += A[j_new];  
      if(j_new==msb) break; // stop, when we will try to unset msb
    }
  }

您能建议更好的算法吗？

附加图像，对于 n=4 的每个 i 求和的 i 和 j 列表：

i  j`s summed
0  0
1  0 1
2  0 2
3  0 1 2 3
4  0 4
5  0 1 4 5
6  0 2 4 6
7  0 1 2 3 4 5 6 7
8  0                8
9  0 1              8 9
a  0 2              8 a
b  0 1 2 3          8 9 a b
c  0 4              8 c
d  0 1 4 5          8 9 c d
e  0 2 4 6          8 a c e
f  0 1 2 3 4 5 6 7  8 9 a b c d e f

注意数字的相似性

PS msb 魔法来自这里：取消字中的最高有效位 (int32) [C]

Answer 1

分而治之？现在还没到位。

void sums(int *a, int n, int *b) {
  if (n <= 0) {
    *b = *a;
    return;
  }
  int m = 1 << (n - 1);
  sums(a, n - 1, b);
  sums(a + m, n - 1, b + m);
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    b[m + i] += b[i];
  }
}