如何生成元组集的传递闭包？

Question

生成一组元组的传递闭包的最佳方法是什么？

示例：

• 输入 Set((1, 2), (2, 3), (3, 4), (5, 0))
• 输出 Set((1, 2), (1 , 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), (5, 0))

Answer 1

//one transitive step
def addTransitive[A, B](s: Set[(A, B)]) = {
  s ++ (for ((x1, y1) <- s; (x2, y2) <- s if y1 == x2) yield (x1, y2))
}

//repeat until we don't get a bigger set
def transitiveClosure[A,B](s:Set[(A,B)]):Set[(A,B)] = {
  val t = addTransitive(s)
  if (t.size == s.size) s else transitiveClosure(t)
}

println(transitiveClosure(Set((1,2), (2,3), (3,4))))

这不是一个非常有效的实现，但是很简单。

Answer 2

在unfold的帮助下，

def unfoldRight[A, B](seed: B)(f: B => Option[(A, B)]): List[A] = f(seed) match {
  case Some((a, b)) => a :: unfoldRight(b)(f)
  case None => Nil
}

def unfoldLeft[A, B](seed: B)(f: B => Option[(B, A)]) = {
  def loop(seed: B)(ls: List[A]): List[A] = f(seed) match {
    case Some((b, a)) => loop(b)(a :: ls)
    case None => ls
  }

  loop(seed)(Nil)
}

它变得相当简单：

def transitiveClosure(input: Set[(Int, Int)]) = {
    val map = input.toMap
    def closure(seed: Int) = unfoldLeft(map get seed) {
        case Some(`seed`) => None
        case Some(n)      => Some(seed -> n -> (map get n))
        case _            => None
    }
    map.keySet flatMap closure
}

编写closure的另一种方式是这样的：

def closure(seed: Int) = unfoldRight(seed) {
    case n if map.get(n) != seed => map get n map (x => seed -> x -> x)
    case _ => None
}

我自己不确定我最喜欢哪种方式。我喜欢测试 Some(seed) 以避免循环的优雅，但出于同样的原因，我也喜欢映射 map get n 结果的优雅。

两个版本都不会返回 seed -> Seed for 循环，因此您必须在需要时添加它。这里：

    def closure(seed: Int) = unfoldRight(map get seed) {
        case Some(`seed`) => Some(seed -> seed -> None)
        case Some(n)      => Some(seed -> n -> (map get n))
        case _            => None
    }

Answer 3

将问题建模为有向图，如下所示：

将元组中的数字表示为图中的顶点。
那么每个元组(x,y)代表从x到y的有向边。之后，使用Warshall算法求出图的传递闭包。

对于生成的图，每个有向边都会转换为 (x, y) 元组。这就是元组集合的传递闭包。

Answer 4

假设您拥有的是 DAG（示例数据中没有循环），您可以使用下面的代码。它期望 DAG 作为从 T 到 List[T] 的映射，您可以使用

input.groupBy(_._1) mapValues ( _ map (_._2) )

以下传递闭包从输入中获取它：

def transitiveClosure[T]( dag: Map[ T, List[T] ] ) = {
  var tc = Map.empty[ T, List[T] ]
  def getItemTC( item:T ): List[T] = tc.get(item) match {
    case None =>
      val itemTC = dag(item) flatMap ( x => x::getItemTC(x) )
      tc += ( item -> itemTC )
      itemTC
    case Some(itemTC) => itemTC
  }
  dag.keys foreach getItemTC
  tc
}

此代码仅计算每个元素的闭包一次。但是：

• 如果通过 DAG 的路径足够长（递归不是尾递归），则此代码可能会导致堆栈溢出。
• 对于大型图，如果您想要一个不可变的 Map，最好将 tc 制作为一个可变的 Map，然后在最后转换它。
• 如果您的元素确实像示例中那样很小，那么您可以通过使用数组而不是映射来显着提高性能，尽管这样做会使某些事情变得复杂。

为了消除堆栈溢出问题（对于 DAG），您可以进行拓扑排序，反转它，然后按顺序处理项目。但另请参阅此页面：

最著名的图传递闭包算法