Haskell： join 是如何自然转变的？

Question

我可以在 Haskell 中将自然变换定义为：

h :: [a] -> Maybe a
h []    = Nothing
h (x:_) = Just x

并使用函数 k：

k :: Char -> Int
k = ord

满足自然性条件，因为：

h 。 fmap k == fmap k 。 h

List monad的join函数的自然性条件是否可以用类似的方式证明？我无法理解join（特别是concat）是如何自然转换的。

Answer 1

好的，让我们看看concat。

首先，这是实现：

concat :: [[a]] -> [a]
concat = foldr (++) []

这与 h 的结构类似，其中 Maybe 被 [] 替换，更重要的是，[ ] 被替换为——暂时滥用语法——[[]]。

当然，[[]] 也是一个函子，但它不是自然条件使用它的方式的 Functor 实例。直接翻译您的示例是行不通的：

concat 。 fmap k =/= fmap k 。 concat

...因为两个 fmap 都只作用于最外面的 []。

尽管 [[]] 假设是 Functor 的一个有效实例，但由于可能显而易见的实际原因，您不能直接将其设为一个实例。

但是，您可以像这样重建正确的提升：

concat 。 (fmap . fmap) k == fmap k 。 concat

...其中 fmap 。 fmap 相当于为 [[]] 假设的 Functor 实例实现 fmap。

作为相关附录，return 由于相反的原因而显得尴尬：a ->; f a 是来自省略恒等函子的自然变换。使用 : [] 身份将被写成：

(:[]) 。 ($) k == fmap k 。 (:[])

...其中完全多余的 ($) 代替了省略的恒等函子上的 fmap 。