原地矩阵旋转

Question

我发现一个有趣的问题，要求将 NxN 矩阵原地旋转 90 度。我的 C 语言递归解决方案如下。然而，当我查找其他解决方案时，大多数解决方案都使用嵌套的 for 循环来完成任务（这似乎工作正常）。嵌套循环实现似乎在 O(n^2) 时间内运行。

看： 如何旋转二维数组？

我相信递归解决方案的运行时间为 O( (n^2-n)/2 )，也就是 O(n^2)。我的问题有两个方面。 1）我上面的复杂性分析对于递归和非递归解决方案都正确吗？2）是否有一些我还没有找到的高效或巧妙的方法来旋转矩阵？

TIA。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>


int SIZE = 0;


/**
 * In-place, recursive, clockwise, 90 degree matrix rotation.
 */
static void rotate_in_place( int matrix[][SIZE], int n )
{
    if( n < 2 )
        return;


    int temp1, temp2;

    for( int i = 0; i < (n-1); i++ )
    {
        temp1 = matrix[i][n-1];
        matrix[i][n-1] = matrix[0][i];

        temp2 = matrix[n-1][n-i-1];
        matrix[n-1][n-i-1] = temp1;

        temp1 = matrix[n-i-1][0];
        matrix[n-i-1][0] = temp2;

        matrix[0][i] = temp1;
    }


    matrix = ((int*)matrix) + SIZE + 1;
    n -= 2;
    rotate_in_place( matrix, n );
}


static void print_matrix( int matrix[][SIZE] )
{
    printf( "\n" );
    for( int i = 0; i < SIZE; i++ )
    {
        for( int j = 0; j < SIZE; j++ )
            printf( "%4i ", matrix[i][j] );

        printf( "\n" );
    }
}


int main()
{

    // Create some matrices and rotate them.
    //
        int matrices = 10;

        for( int i = 2; i < matrices; i++ )
        {
            int matrix[i][i];

            int count = 0;
            for( int j = 0; j < i; j++ )
                for( int k = 0; k < i; k++ )
                    matrix[j][k] = ++count;


            printf( "\n\nRotating %ix%i matrix.\n", i, i );

            SIZE = i;

            printf( "\nOriginal matrix.\n" );
            print_matrix( matrix );

            rotate_in_place( matrix, i );

            printf( "\n\nRotated matrix.\n" );
            print_matrix( matrix );
        }


    return EXIT_SUCCESS;
}

Answer 1

就地C解决方案如下

void rotateRight(int matrix[][SIZE], int length) {

    int layer = 0;

    for (int layer = 0; layer < length / 2; ++layer) {

        int first = layer;
        int last = length - 1 - layer;

        for (int i = first; i < last; ++i) {

            int topline = matrix[first][i];
            int rightcol = matrix[i][last];
            int bottomline = matrix[last][length - layer - 1 - i];
            int leftcol = matrix[length - layer - 1 - i][first];

            matrix[first][i] = leftcol;
            matrix[i][last] = topline;
            matrix[last][length - layer - 1 - i] = rightcol;
            matrix[length - layer - 1 - i][first] = bottomline;
        }
    }
}

Answer 2

旋转不能在少于 n^2 次操作中完成，因为您需要交换所有元素。然而，通常情况下，由于旋转会非常严重地破坏缓存，因此我们会避免执行它;)

Answer 3

您的复杂性分析是正确的，但也非常令人困惑。由于矩阵中的元素数量为 n²，因此 O(n²) 实际上是输入大小的线性时间，这才是重要的数字。

如果您想在旋转后打印整个矩阵，那么线性时间是最好的选择。对于其他操作，明智的做法是不要就地旋转矩阵，而是编写一个 适配器 更改其索引，因此可以访问旋转矩阵的元素，而无需在内存中进行实际旋转。