Zekendorf 与黄金比例基础之间的转换

Question

Zekendorf 和黄金比例基础显然密切相关，但从一种转换到另一种似乎仍然很棘手。我知道 Frougny 和 Sakarovitch 在这方面有工作，但我还没有完全理解这一点。一个问题是黄金比例基本表示围绕小数点相当对称，这表明这些表示可能是上下文无关的。 Sakarovitch 和 Frougny 通过使用“折叠”黄金比例基数来解决这个问题。通过这种修改后的表示，他们应该可以使用有限状态传感器进行转换，但我不明白它应该如何工作。

至于黄金比例基的部分对称性，这与成对出现的根有关（我从 George Bergman (pc) 那里得到了对此的更长的解释）。

关于这两种表示之间的关系，我确实知道的一件事是，对于 d-1...d_i*d_j...d_n 形式的每个黄金比例基本表示（使用“*”作为基数点），都有一个相应的涉及斐波那契数的方程：（

Example 4 = 101.01 <=> 4f_n = f_{n+2} + f_n + f_{n-2}   (with f_0 = f_1 = 1
                                                          and f_n = f_{n-1} + f_{n-2})
For n=3,  f_n=3:  12 =   10101
for n=4,  f_n=5:  20 =  101010
for n=5   f_n=8:  32 = 1010100    

等等。有一系列数字都具有与 4 的黄金比例基本表示相同的 Zeckendorf 位模式）。这看起来确实应该有帮助，但是如何呢？

D. Gerdemann，《Zeckendorf 家族恒等式的组合证明》斐波那契季刊，2008/2009 年讨论了这种模式。

顺便说一句：尽管在《斐波那契季刊》上发表过一篇论文，但我在这方面完全是一个业余爱好者。我的知识有很多差距，包括我要问的差距。

Answer 1

我知道这个答案迟到了 1.75 年，但由于没有其他人尝试回答这个问题，而且我自己也在探索斐波那契数列、Zeckendorf 表示法和黄金比例基础之间的联系，所以我将继续发布我的内容在相关研究中找到了我最好的答案：

从现在开始，我将黄金比例基础称为为简洁起见，使用 phi 或 phary 为基础。

与 卢卡斯数相比，基础 phi 与卢卡斯数的联系更加紧密/wiki/Fibonacci_number">斐波那契数，这解释了直接转换它们时遇到的一些困难。但卢卡斯数与斐波那契数的关系如下：

L[n] = F[n-1] + F[n+1]

和

5 * F(n) = (L [n-1] + L[n+1])

卢卡斯数与基数 phi 的关系如下：

L[n] = phi^n + (-1/phi)^n因此，将为每个卢卡斯数设置基本 phi 中的第 n 位和第 -n 位数字。

斐波那契数 F[n] 以 phi 幂的形式直接表示为：

F[n] = ( phi^n - (-1/phi)^n )/sqrt (5) （注意减号而不是加号）

这可以翻译为：

F[n] = ( 10^n - (-0.1)^n )/10.1

现在 sprt(5) 可以直接用 Phinary 表示为 10.1，但只有当整数中包含 5 的因数时，它才会整除斐波那契数，因为 5 及其倍数是唯一的整数 <代码>sqrt(5) 除以。这意味着在基数 phi 中，5 不是素数，但 sqrt(5) 是（从技术上讲，它是一个原始素数理想）。 sqrt(5) 的行为方式非常类似于整数。事实上，任何可以用 phi 基数有限表示的数字都被称为 Dirichlet Integer，因为它具有类似于整数的行为。

我在这个网页上找到了上面的公式，其中有更多有关斐波那契数、卢卡斯数和 phi 之间关系的信息。

这是我对算法的尝试。我请求社区帮助我发现并纠正任何错误。我假设 Zeckendorf 和基本 phi 表示存储在一个数组中，其中 Zeckendorf 数组从 0 到 n，Phinary 数组从 -n 到 n，并且我使用类似 C 的伪代码：

for (int n = 0; n < length(Zeckendorf); n++) {
    if (Zeckendorf[n] == 1) {
        Phinary[n] = 1;
        /* in a real array, the negative n needs to be offset like fixed point */
        Phinary[-n] = -1; /* negative phinary digits
        can be converted to positive ones later
        (see Golden Ratio Base article on wikipedia) */
    }
}
Standardize(Phinary); /* Change -1's to 1's with 0,-1,0 -> -1,0,1
negatives will eventually cancel with their positive 1 neighbors to the left. */
/* Divide by sqrt 5 = 10.1 in phinary */
Sqrt5[-1 .. 1] = {1, 0, 1}
PhinalNumber = PhiDivide(Phinary, Sqrt5);

标准化到最小形式的方法维基百科文章中记录了黄金比例基，并且可以使用欧几里得除法算法。

更好的方法可能是使用平衡三元 Tau 系统，以便“围绕基数”属性变为“围绕第 0 位数字完全对称”属性（称为镜像对称属性）。描述它的论文是“