修改rk4方法的C实现

Question

坦率地说，我的问题是我不确定这是如何运作的。

我需要修改 double f() 函数来解决任意问题 微分方程 d2θ/dt2 = −ω2sinθ，但事实上我不确定如何继续。

我理解 rk4 函数 runge4() 本身；我不明白的是如何 f() 函数返回谐振子的正确值。

有人至少可以解释一下 f() 函数背后的逻辑吗？

原始代码如下。

/* 
************************************************************************
*  rk4.c: 4th order Runge-Kutta solution for harmonic oscillator       *
*                      *
* From: "A SURVEY OF COMPUTATIONAL PHYSICS" 
   by RH Landau, MJ Paez, and CC BORDEIANU 
   Copyright Princeton University Press, Princeton, 2008.
   Electronic Materials copyright: R Landau, Oregon State Univ, 2008;
   MJ Paez, Univ Antioquia, 2008; & CC BORDEIANU, Univ Bucharest, 2008
   Support by National Science Foundation                              
*
************************************************************************
*/

#include <stdio.h>

#define N 2                                   /* number of equations */
#define dist 0.1                              /* stepsize */
#define MIN 0.0                               /* minimum x */
#define MAX 10.0                              /* maximum x */

void runge4(double x, double y[], double step);
double f(double x, double y[], int i);

int main()
{

   double x, y[N];
   int j;

   FILE *output;                              /* save data in rk4.dat */
   output = fopen("rk4.dat","w");

   y[0] = 1.0;                                /* initial position  */
   y[1] = 0.0;                                /* initial velocity  */

   fprintf(output, "%f\t%f\n", x, y[0]);

   for(x = MIN; x <= MAX ; x += dist)
   {
      runge4(x, y, dist);
      fprintf(output, "%f\t%f\n", x, y[0]);   /* position vs. time */
   }
   printf("data stored in rk4.dat\n");
   fclose(output);
}
/*-----------------------end of main program--------------------------*/

/* Runge-Kutta subroutine */
void runge4(double x, double y[], double step)
{
   double h=step/2.0,                         /* the midpoint */
          t1[N], t2[N], t3[N],                /* temporary storage */
          k1[N], k2[N], k3[N],k4[N];          /* for Runge-Kutta  */
   int i;

   for (i=0; i<N; i++) t1[i] = y[i]+0.5*(k1[i]=step*f(x, y, i));
   for (i=0; i<N; i++) t2[i] = y[i]+0.5*(k2[i]=step*f(x+h, t1, i));
   for (i=0; i<N; i++) t3[i] = y[i]+    (k3[i]=step*f(x+h, t2, i));
   for (i=0; i<N; i++) k4[i] =                 step*f(x + step, t3, i);

   for (i=0; i<N; i++) y[i] += (k1[i]+2*k2[i]+2*k3[i]+k4[i])/6.0;
}
/*--------------------------------------------------------------------*/

/* definition of equations - this is the harmonic oscillator */
double  f(double x, double y[], int i)
{
   if (i == 0) return(y[1]);               /* RHS of first equation */
   if (i == 1) return(-y[0]);              /* RHS of second equation */
}

Answer 1

从胡克定律开始：

F = -kx

将其与牛顿第二定律结合起来，得到线性谐振子的微分方程：

ma = F = -kx
mx'' = -kx
x'' = -k/m x

任意选择我们的单位，使 k/m == 1，方程变为：

x'' = -x

现在，引入一个虚拟变量 y = x'，并将这个二阶微分方程写为二维一阶系统：

x' = y
y' = -x

代码中的函数 f 正是这样编码的系统;为了清楚起见，我将更改变量名称：

double  f(double t, double v[], int i)
{
   if (i == 0) return(v[1]);
   if (i == 1) return(-v[0]);
}

v 是来自上面二维系统的向量[x,y]。给定 i、t 和 v，函数 f 返回相对于 t< 的导数v 的第 i 组件的 /code>。使用这些名称重写二维系统，我们得到：

dv[0]/dt =  v[1]
dv[1]/dt = -v[0]

这正是函数 f 的作用。

Answer 2

N 被定义为常量 2。这意味着这些循环将进行 2 次迭代，i = 0 和 i = 1

f()如果i == 0，函数将返回传入多项式的第二个元素；如果i == 1，则返回该多项式第一个元素的负数。

我不知道获取谐振子的公式（老实说，这听起来像 Geordi LaForge 所说的需要重新校准之类的东西），但我认为就是这样。