有没有办法将集合中的整数之和限制为 (0,1) 而无需找到集合中的最大整数？

发布于 2024-11-03 06:02:39 字数 694 浏览 4 评论 0原文

我有一组 n，数字 {N_1, N_2.....N_n}

基本上我想对所有 N_k 的总和做一些事情code> 保持总和的结果在 (0,1) 之间归一化/有界（（就像除以某个 f(N_1,N_2..N_n)） 但我不想比较中的所有整数找到最大值的集合，我想保持答案“无量纲”，因此 f 不能是 (N_k)^2 的总和，例如

是否有一个简单的函数。 f 或其他方法来确保这一点？

编辑我想要从 (0,infinity) 到 (0,1) 的所有可能总和的映射

f = sum 将不起作用，因为它会始终给出结果 1，因此与总和不成正比。

假设每一项的长度以米为单位...无量纲意味着操作的最终结果不应该有任何单位..例如 2m + 3m/ (2m + 1m) =5/3 没有单位。

然而......有相当明显的答案可能有效，例如f = sum +1或f= sum +2等。这些将随着总和的增加而增长，并且对于总和的大值趋向于1 那么问题可能更加主观，变成可以使用哪种其他类型的 f 以及哪个将为大值提供“最线性”类型的映射？

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段念尘 2024-11-10 06:02:39

atan(x/k)/(pi/2) 将所有 [0..infinity] 映射到范围 0..1： fooplot

选择一个数字 k，至少是您期望看到的最大数字的一半。输入 k 映射为 0.5。太大的输入将彼此非常接近并且为 1，以致于在舍入中丢失。

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满栀 2024-11-10 06:02:39

但我想要一张尽可能线性的地图...最好是比反正切更线性的地图？

我不是数学家，但我的直觉是，从 (0, infinity) 映射到 (0, 1) 的唯一方法是使用函数 f其性质是，当 x 趋于无穷大时，f(x) 渐近于 1。它不可能是线性的。

根据 @Alexandre 的评论，修改后的语句应该是：

一个函数 f，它具有以下属性：f(x) 是常数或渐近于常数，因为 x 趋于无穷大。
这意味着它不能在整个范围内呈线性...除了 f(x) = C 的情况。

但就像我说的……我不是数学家……而他显然是。

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独自唱情﹋歌 2024-11-10 06:02:39

如果你想要无量纲的东西，你必须采取f 正同质（根据无量纲的定义）。这意味着对于每个 a > 0，

f(a * x_1, ..., a * x_n) = a * f(x_1, ..., x_n).

这确保

sum(a * x_1, ... a * x_n) / f(a * x_1, ..., a * x_n)

不依赖于 a （将与 a 的乘法视为“单位更改”）。换句话说，当您均匀缩放函数 f 的参数时，函数 f 必须线性增长。

齐次函数的基本示例是您提到的：

f(x_1, ..., x_n) = n * max(x_1, ..., x_n)                                     (1)
f(x_1, ..., x_n) = sum(x_1, ..., x_n)                                         (2)

还有欧几里得范数：

f(x_1, ..., x_n) = sqrt(n) * sqrt(sum(x_1^2, ..., x_n^2))                     (3)

和p-范数，对于p > 1：

f(x_1, ..., x_n) = n^(p/(p-1)) * sum(x_1^p, ..., x_n^p) ^ (1/p)               (4)

作为奖励，它们是对称的，这也可能是您的要求之一。选择你想要的。还有其他的，但更复杂。

通过霍尔德不等式得出比率sum / f对于这四个函数来说，总是在 0 和 1 之间（这就是我选择有趣的归一化常数的原因）。请注意，选择 (2) 是一个简单的选择：结果始终为 1。

If you want something dimensionless you must take f positive homogeneous (by definition of dimensionless). This means that for each a > 0,

f(a * x_1, ..., a * x_n) = a * f(x_1, ..., x_n).

This ensures that

sum(a * x_1, ... a * x_n) / f(a * x_1, ..., a * x_n)

does not depend on a (see the multiplication by a as a "change of units"). Put another way, the function f must grow linearly when you scale evenly its arguments.

Basic examples of homogeneous functions are the ones you mentioned:

f(x_1, ..., x_n) = n * max(x_1, ..., x_n)                                     (1)
f(x_1, ..., x_n) = sum(x_1, ..., x_n)                                         (2)

but also the Euclidean norm:

f(x_1, ..., x_n) = sqrt(n) * sqrt(sum(x_1^2, ..., x_n^2))                     (3)

and the p-norms, for p > 1:

f(x_1, ..., x_n) = n^(p/(p-1)) * sum(x_1^p, ..., x_n^p) ^ (1/p)               (4)

As a bonus, they are symmetric, which may also be one of your requirements. Pick whichever you want. There are others, but are more complicated.

By Hölder's inequality the ratio sum / f is always between zero and one for those four functions (this is why I chose the funny normalizing constants). Note that chosing (2) is a trivial choice: the result is always 1.

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鹿港巷口少年归 2024-11-10 06:02:39

为什么不直接使用简单的双曲曲线呢？函数y=n/(x+n)将任何正数映射到范围[1,0]。您选择的 n 越高，您的曲线就越平坦。如果取y=1-n/(x+n)，它将在[0,1]范围内。因此，n 的选择将表明曲线接近其渐近线的速度。

在这里试试：
http://graph-plotter.cours-de-math.eu/

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最单纯的乌龟 2024-11-10 06:02:39

我不确定我是否能正确理解这个问题。如果您尝试找到将每个单独元素 N₁...N_n 映射到 (0,1) 的映射，您当然可以使用（如您建议的那样）

f( x) = x / max { N₁, ..., N_n }

但由于某种原因，您不想取所有元素的最大值。您可以使用

f(x) = x / Σ_i N_i

但这不一定映射任何元素，甚至接近 1。另一种选择是使用“软最大值”函数，即

f(x) = e^x / [e^N₁ + ... + e^{N _n}]

如果值x 不一定是集合中的任何单个元素，而是子集和，那么显然

f(x) = x / Σ_i N_i

工作得很好，我们现在当 x是你得到的所有元素的总和 1。

但是你说 x 可以趋于无穷大。如果集合 { N_i } 是有限的并且保持不变，这真的会发生吗？

一般来说，如果你想从 (0,∞) 压缩到 (0,1)，你不能使用线性函数来做到这一点，原因很明显。对于压缩函数 f ： (0,∞) → (0,1) 您需要 d/dx f > 0 且必然 lim x→∞ d/dx f(x) = 0; f(0) = 0; lim x→∞ f(x) = 1。具有这些属性的一些函数是

对于任何正常数 C 为 1 - e^-Cx，以及

2 / (1 + e^-Cx super>) - 1（S 型函数）。