Matlab 与 Mathematica，特征向量？

Question

function H = calcHyperlinkMatrix(M)
    [r c] = size(M);
    H = zeros(r,c);
    for i=1:r,
        for j=1:c,
            if (M(j,i) == 1)
                colsum = sum(M,2);
                H(i,j) = 1 / colsum(j);
            end;
        end;
    end;
    H     


function V = pageRank(M)
    [V D] = eigs(M,1);
    V

function R = google(links)
    R = pageRank(calcHyperlinkMatrix(links));
    R

M=[[0 1 1 0 0 0 0 0];[0 0 0 1 0 0 0 0];[0 1 0 0 1 0 0 0];[0 1 0 0 1 1 0 0];
    [0 0 0 0 0 1 1 1];[0 0 0 0 0 0 0 1];[1 0 0 0 1 0 0 1];[0 0 0 0 0 1 1 0];]
google(M)

ans =

   -0.1400
   -0.1576
   -0.0700
   -0.1576
   -0.2276
   -0.4727
   -0.4201
   -0.6886

---

Mathematica：

calculateHyperlinkMatrix[linkMatrix_] := {
  {r, c} = Dimensions[linkMatrix];
  H = Table[0, {a, 1, r}, {b, 1, c}];
  For[i = 1, i < r + 1, i++,
   For[j = 1, j < c + 1, j++,
    If[linkMatrix[[j, i]] == 1, H[[i, j]] = 1/Total[linkMatrix[[j]]], 
     0]
    ]
   ];
  H
  }


H = {{0, 0, 0, 0, 0, 0, 1/3, 0}, {1/2, 0, 1/2, 1/3, 0, 0, 0, 0}, {1/2,
     0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 1/2, 1/3, 
    0, 0, 1/3, 0}, {0, 0, 0, 1/3, 1/3, 0, 0, 1/2}, {0, 0, 0, 0, 1/3, 
    0, 0, 1/2}, {0, 0, 0, 0, 1/3, 1, 1/3, 0}};
R = Eigensystem[H];
VR = {R[[1, 1]], R[[2, 1]]}
PageRank = VR[[2]]


{1, {12/59, 27/118, 6/59, 27/118, 39/118, 81/118, 36/59, 1}}

Matlab 和 Mathematica 没有给出与特征值 1 相同的特征向量。尽管两者都有效...哪一个是正确的，为什么它们不同？如何生成特征值为 1 的所有特征向量？

Answer 1

特征向量 X的定义是一些向量X< /code> 满足

AX = kX，

其中 A 是矩阵，k 是常数。从定义中可以清楚地看出，cX 也是任何不等于 0 的 c 的特征向量。因此存在一些常量c，使得X_matlab = cX_mathematica。

看起来第一个是正常的（欧几里德长度为 1，即将坐标的平方和相加，然后取平方根，您将得到 1），第二个被标准化，因此最终坐标为 1（任何特征向量都是找到，然后将所有坐标除以最终坐标）。

如果您只需要一个特征向量，您可以使用任何您想要的。

Answer 2

这是因为如果向量 x 是矩阵 H 的特征向量，那么 x 的任意倍数也是矩阵 H 的特征向量。
您引用的向量作为 matlab 的答案并没有完全检查：

In[41]:= H.matlab - matlab

Out[41]= {-0.0000333333, 0.0000666667, 0., 0., 0.0000333333, 0., \
-0.0000666667, 0.}

但假设它足够接近，您会看到它

In[43]:= {12/59, 27/118, 6/59, 27/118, 39/118, 81/118, 36/59, 
  1}/{-0.1400, -0.1576, -0.0700, -0.1576,
  -0.2276, -0.4727, -0.4201, -0.6886}

Out[43]= {-1.45278, -1.45186, -1.45278, -1.45186, -1.45215, -1.45217, \
-1.45244, -1.45222}

由几乎相同的元素组成。因此，matlab 的向量是 Mathematica 的 -1.45 倍。

Answer 3

特征向量不一定是唯一的。特征向量的所有要求是，

1. 对于所有 m ≠ n，它必须具有单位范数
2. v_m*v_n=0（正交性）
3. 它满足 Av_m=u_m v_m，其中u_m是相应的特征值

返回的确切特征向量取决于所实现的算法。作为一个简单的例子来证明一个矩阵可以有两组不同的特征向量，考虑一个 NxN 单位矩阵：

I=   1     0     0     0
     0     1     0     0
    ...   ...   ...   ...
     0     0     0     1

很明显（并且可以很容易地确认）I 的每一列code> 是一个特征向量，特征值均为 1。

我现在声明，以下向量

v_m=[1,exp(2*pi*1i*m/N),...,exp(2*pi*1i*m*(N-1)/N)]';

m=1,2...,N 形成范数为 1 的正交基组，因此是I 的特征向量。这里 1i 指的是 MATLAB 表示法中 -1 的平方根。您可以自己验证这一点：

N=50;
v=1/sqrt(N)*cumprod(repmat(exp(-1i*2*pi/N*(0:N-1)),N,1),1);
imagesc(real(v*v'));

这里我取了实部，因为由于机器精度的影响，虚部不为零（阶 10^-16），但应该为零（您甚至可以通过分析来做到这一点，并且它应该为零）。否则，imagesc 返回错误。

所以，综上所述，特征向量不一定是唯一的，并且都传达相同的信息；只是以不同的表现形式。