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通过给定点的线

发布于 2024-10-31 10:57:33 字数 348 浏览 1 评论 0原文

在此处输入图像描述

我试图找到图像绿色区域中对象外线的角度，如下所示如上图所示...

为此，我扫描了绿色区域并获取了点（如图所示的深蓝色点）...

如您所见，这些点没有形成直线，所以我找不到轻松角度。

所以我认为我必须找到一条中间道路即找到一条线，使每个点和线之间的距离保持尽可能小。

那么我怎样才能找到这条线，使得每个点都暴露到它的最小距离……？

是否有任何算法可以实现这一点，或者除此之外还有什么好的方法吗？

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岁月染过的梦 2024-11-07 10:57:33

显而易见的路线是通过这些点进行最小二乘线性回归。

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蓝颜夕 2024-11-07 10:57:33

x on y 或 y on x 的标准最小二乘回归公式假设一个坐标没有误差，并将坐标与直线的偏差最小化。

然而，完全可以建立最小二乘计算，使得最小化的值是点到线的垂直距离的平方和。我不确定我是否能找到我做数学题的笔记本——那是二十多年前的事了——但我确实找到了我当时编写的实现算法的代码。

其中：

n = Σ 1
sx = Σ x
sx2 = Σ x²
sy = Σ y
sy2 = Σ y²
sxy = Σ x·y

您可以计算方差x 和 y 以及协方差：

v_x = sx2 - ((sx * sx) / n)
v_y = sy2 - ((sy * sy) / n)
v _xy = sxy - ((sx * sy) / n)

现在，如果协方差为 0，则不存在线的外观。否则，斜率和截距可以通过以下公式找到：

slope = quad((vx - vy) / vxy, vxy)
intcpt = (sy - 斜率 * sx) / n

其中quad()是计算二次方程根的函数 x² + b·x - 1与 c 具有相同的符号。在 C 中，那就是：

double quad(double b, double c)
{
    double b1;
    double q;

    b1 = sqrt(b * b + 4.0);
    if (c < 0.0)
        q = -(b1 + b) / 2;
    else
        q = (b1 - b) / 2;
    return (q);
}

从那里，你可以很容易地找到你的线的角度。

The standard least squares regression formulae for x on y or y on x assume there is no error in one coordinate and minimize the deviations in the coordinate from the line.

However, it is perfectly possible to set up a least squares calculation such that the value minimized is the sum of squares of the perpendicular distances of the points from the lines. I'm not sure whether I can locate the notebooks where I did the mathematics - it was over twenty years ago - but I did find the code I wrote at the time to implement the algorithm.

With:

n = ∑ 1
sx = ∑ x
sx2 = ∑ x²
sy = ∑ y
sy2 = ∑ y²
sxy = ∑ x·y

You can calculate the variances of x and y and the covariance:

v_x = sx2 - ((sx * sx) / n)
v_y = sy2 - ((sy * sy) / n)
v_xy = sxy - ((sx * sy) / n)

Now, if the covariance is 0, then there is no semblance of a line. Otherwise, the slope and intercept can be found from:

slope = quad((vx - vy) / vxy, vxy)
intcpt = (sy - slope * sx) / n

Where quad() is a function that calculates the root of quadratic equation x² + b·x - 1 with the same sign as c. In C, that would be:

double quad(double b, double c)
{
    double b1;
    double q;

    b1 = sqrt(b * b + 4.0);
    if (c < 0.0)
        q = -(b1 + b) / 2;
    else
        q = (b1 - b) / 2;
    return (q);
}

From there, you can find the angle of your line easily enough.

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李白 2024-11-07 10:57:33

显然，该线将穿过平均点（x_average，y_average）。

对于方向，您可以使用以下算法（直接从最小化线和点之间的平均平方距离得出）：

dx[i]=x[i]-x_average;
dy[i]=y[i]-y_average;

a=sum(dx[i]^2-dy[i]^2);
b=sum(2*dx[i]*dy[i]);

direction=atan2(b,a);

通常的线性回归在这里不起作用，因为它假设变量不对称 - 一个依赖于另一个，所以如果您将交换 x y，你会有另一个解决方案。

Obviously the line will pass through averaged point (x_average,y_average).

For direction you may use the following algorithm (derived directly from minimizing average square distance between line and points):

dx[i]=x[i]-x_average;
dy[i]=y[i]-y_average;

a=sum(dx[i]^2-dy[i]^2);
b=sum(2*dx[i]*dy[i]);

direction=atan2(b,a);

Usual linear regression will not work here, because it assumes that variables are not symmetric - one depends on other, so if you will swap x and y, you will have another solution.

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