尝试计算圆锥体的体积

Question

我正在尝试使用 MATLAB 程序来近似圆锥体的体积，该程序使用 n 个半径递减的等高圆盘（圆柱体）。最大的圆盘位于底部，下一个圆盘位于其顶部，半径最小的圆盘位于顶部。我在获取输入时没有遇到任何问题，但我不知道如何使用光盘来计算体积。 for循环还是while循环？

顺便说一句，圆盘的体积是 pi*r*r*h，h 是高度，r 是半径

下一步，我需要计算所需的圆盘数量，以便误差百分比小于 1%

这就是我的全部到目前为止，它可以很好地计算有限数量的光盘的体积，但我不知道如何计算光盘的数量，以使错误百分比小于 1%。我将不胜感激的帮助。谢谢！

h=input('Enter height: ');
if (h<=0)
disp('Height must be positive!');
else
r=input('Enter base radius: ');
if (r<=0)
disp('Base radius must be positive!');
else
n=input('Enter number of discs: ');
ne=n;
  while n>0 || n~=0
             if n>0 && (mod(n,1))==0
                Vcone=(1/3)*(pi*r*r*h);
                VTotal=0;
                  for i=n:-1:1
                      rEachDisc=r*(((i-1)*h)/n)/h;
                      VEachDisc=(pi*rEachDisc*rEachDisc)*(h/n);
                      VTotal=VTotal+VEachDisc;                   
                  end
                Vapp=VTotal+((pi*r*r)*(h/n));
                eror=abs((Vcone-Vapp)/Vcone*100);
                fprintf('For n=%g, approximated volume: %g ; error:     %g%%\n',n,Vapp,eror)
             else
                disp('This is not a positive integer!');
             end
        n=input('Enter number of discs: ');
  end 
end
end
VTotal=0;
t=1;
Vcone=(1/3)*(pi*r*r*h);
for i=ne:-1:1
rEachDisc=r*(((i-1)*h)/ne)/h;
VEachDisc=(pi*rEachDisc*rEachDisc)*(h/ne);
VTotal=VTotal+VEachDisc; 
Vapp=VTotal+((pi*r*r)*(h/ne));
eror=abs((Vcone-Vapp)/Vcone*100);
if eror==1
fprintf('We need at least %g discs to approximate the volume with less than 1%%   error.',ne);
  break
end
end

Answer 1

上面的答案，特别是尤达的答案告诉你如何计算近似值。

要检测何时达到 1% 的误差，有两种选择：

• 与精确公式 V = pi/3 * r^2 * h 进行比较，其中 r 是底半径。由于这基本上消除了任何近似的需要，因此这可能不是这个想法。
• 考虑以下思想实验：
  • 如果你拿一堆包含整个圆锥体的圆盘（即最大的圆盘应以底半径为半径），则体积必须小于体积之和光盘的数量。
  • 如果整个圆锥体中包含一堆圆盘（“将半径移动一步”），圆锥体的体积必须大于圆盘体积之和.
  • 因此，误差始终小于两个堆栈之间的差异。如果您使用第一个作为近似值，则误差小于最大的光盘。

在代码中：

r = h*(1:n)/n;
V = pi * r.^2 * h / n;
V = sum(V);
e = V(1);
re = e/(V-e);

现在 V 包含体积估计值和 e 绝对误差上限，以及 re 相对误差上限错误。

Answer 2

使用 for 循环。

关键是要认识到圆锥体具有恒定的斜率，因此近似圆锥体中的每个圆盘的半径都将与最后一个圆盘的半径相差一个常数因子。 （或者等效地，它将与最后一个直径相差一个常数因子。这是同一件事。）

要计算每个圆盘的半径，您需要从前一个半径中减去一个固定数字。因此，每次循环时，您都需要修改半径变量 r。

Answer 3

如果将问题分解，编程就会更简单，而且根本不需要使用任何循环。 MATLAB 的优势在于数组/向量操作，您应该充分利用这一点。以下是您应该尝试的步骤：

1. 首先，您需要将圆锥体分成 N 块。将高度视为从 0 到 H 的向量，使用 linspace 函数将其分为 N 个相等的段。
2. 正如罗宾所提到的，斜率是恒定的。因此，找到这个斜率（从高度 H 和底半径 R），并使用它和高度向量，你可以得到半径向量，它给出了每个圆盘的半径。
3. 您知道如何计算单个磁盘的面积。在 MATLAB 中，您可以使用 . 前缀对数组中的所有元素执行算术运算。因此，例如，如果您要将向量 x 的所有元素提升到某个幂 n，您将编写 x.^n 。由此，您可以一步计算每个磁盘的面积。不需要循环。
4. 使用 sum 将面积相加磁盘的。
5. 最后，要获得体积，您需要将总面积乘以圆盘的厚度。您可以从高度向量轻松获得这一点。

祝你好运。