龙格-库塔。解决不易分离的初值问题

Question

我们应该编写一个程序来使用四阶龙格库塔数值求解以下初始值问题。该算法不是问题，完成后我可以发布我的解决方案。

问题是，将其干净地分离成可以放入龙格库塔的东西。

e^(-x') = x' −x + exp(−t^3)
x(t=0) = 1

你知道这叫什么类型的 ODE 吗？或者解决这个问题的方法？我对计算机科学技能和编程数值方法比对数学更有信心……所以任何对这个问题的见解都会有所帮助。

更新：如果有人对解决方案感兴趣，代码如下。我认为这是一个有趣的问题。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def Newton(fn, dfn, xp_guess, x, t, tolerance):
    iterations = 0
    value = 100.
    max_iter = 100
    xp = xp_guess
    value = fn(t, x, xp)
    while (abs(value) > tolerance and iterations < max_iter):
        xp = xp - (value / dfn(t,x,xp))
        value = fn(t,x,xp)
        iterations += 1
    root = xp
    return root

tolerance = 0.00001
x_init = 1.
tmin = 0.0
tmax = 4.0
t = tmin
n = 1
y = 0.0
xp_init = 0.5

def fn(t,x,xp):
    '''
    0 = x' - x + e^(-t^3) - e^(-x')
    '''
    return (xp - x + np.e**(-t**3.) - np.e**(-xp))

def dfn(t,x,xp):
    return 1 + np.e**(-xp)

i = 0
h = 0.0001
tarr = np.arange(tmin, tmax, h)
y = np.zeros((len(tarr)))
x = x_init
xp = xp_init
for t in tarr:
    # RK4 with values coming from Newton's method
    y[i] = x
    f1 = Newton(fn, dfn, xp, x, t, tolerance)
    K1 = h * f1
    f2 = Newton(fn, dfn, f1, x+0.5*K1, t+0.5*h, tolerance)
    K2 = h * f2
    f3 = Newton(fn, dfn, f2, x+0.5*K2, t+0.5*h, tolerance)
    K3 = h * f3
    f4 = Newton(fn, dfn, f3, x+K3, t+h, tolerance)
    K4 = h * f4
    x = x + (K1+2.*K2+2.*K3+K4)/6.
    xp = f4
    i += 1

fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(1,1,1)
ax.plot(tarr, y)
plt.show()

Answer 1

对于龙格库塔，您只需要一个数值解，而不是解析解。

也就是说，您需要能够编写一段接受 (x, t) 并返回 y 的代码，使得 exp(-y) = = y - x + exp(-t**3) 到舍入误差以内。该代码可以执行某种迭代近似算法，龙格库塔会非常高兴。

这有帮助吗？

Answer 2

Wolfram Alpha 表示解决方案将类似于 这个。

我发现在开始之前了解答案会有所帮助。

了解像 Wolfram Alpha 这样的资源随时可供您使用也很有帮助。

PS - 在互联网、Wolfram Alpha、谷歌、维基百科等时代，成为一名学生或教授意味着什么？

Answer 3

将 K 写成 x - exp(-t^3)，我们要求解 exp(-y) = y - K；我得到 y = K + W(exp(-K)) 其中 W 是兰伯特的 W 函数，例如此处