[0.0, 1.0) 范围内双精度值的唯一值总数是多少？

Question

Random.NextDouble()（范围 [0.0,1.0) 中的 Double）有时会与一个大的 Int64 相乘（让 Int64 big = 9000000000L），结果会取整以获得比从 Random 获得的值更大的随机 Int64 值.Next()（范围 [0,Int32.MaxValue) 中的 Int32）。

Random r = new Random();
long big = 9000000000L;
long answer = (long) (r.NextDouble() * big);

在我看来， [0.0, 1.0) 范围内的 Double 唯一值总数提供了它可能生成的唯一 Int64 数量的上限。事实上，这是一个宽松的上限，因为许多不同的 Double 将映射到相同的 Int64。

因此，我想知道： [0.0, 1.0) 范围内双精度值的唯一值总数是多少？

如果您能告诉我“big”可以取的最大值是多少，以便“answer”可以是范围 [0,big) 中的值，以及“answer”值的分布是否均匀（假设），那就更好了Random.NextDouble() 是统一的。

编辑：这里的Double（双精度）指的是IEEE 754浮点双精度，而Int64（long）和Int32（int）分别指的是64位和32位有符号2的补码。

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受到这个问题的启发：Generate 10digits unique random number in java

虽然我使用的是 C#，但这个问题与语言无关，更多的是关于离散数学而不是编程，但它困扰我主要不是因为数学好奇心，而是因为程序员只想使用一个公式，只有当它做了什么从安全角度来看，这是应该做的。

Answer 1

IEEE-754 有 11 位指数和 52 位尾数。假设符号位为 0（正），如果指数范围为 0x001 到 0x3FE，则该值为 0 到 1 之间的标准浮点数。尾数以不存储的前导 1 进行解释。对于指数的每个 0x3FE 值，都有 2^52 个尾数值。此外，如果指数为 0x000，则尾数将被解释为没有该主值，但如同指数为 0x001，总共 0x3FF = 1023 个指数，其中所有尾数均有效。总共有 1023*2^52 个值。另外，负0也可以算，多了一个值。

如果从所有值均匀生成随机双精度数，那么在相乘以生成 Int64 时确实会产生偏差。然而，任何合理的随机库都会在 [0, 1) 上近似均匀分布，并且将其转换为 Int64 时不会出现偏差。允许生成 [0, big) 中的所有整数的“big”的最大值是 2^53——1/2 和 1 之间的 2^52 个数字的分辨率是 2^(-53)。然而，通常情况下，这些数字是通过将随机整数除以整数范围（通常是 Int32）来生成的，这意味着您实际上无法生成比该源更多的数字。考虑直接组合两个 Int32，例如将一位移位 32 位并将它们组合成 Int64。 （但要小心——生成器的状态空间可能只有 32 位。）

Answer 2

作为您问题的推论，我会告诉您，Random C# 生成器在内部使用一个生成器，该生成器“给他”0...Int32.MaxValue - 1 之间的数字。 >。然后，它将数字除以 Int32.MaxValue（从技术上讲，它乘以该数字的倒数）以返回双精度值。因此，在 C# 中，仅返回 Int32.MaxValue 可能的双精度数 (0...Int32.MaxValue - 1)

Answer 3

IEEE754 对双精度的精度非常清楚：

http://en.wikipedia.org/wiki /IEEE_754-2008

您有 52 位精度加上一个额外的假定位。

您的指数从 -1022 到 1023，大约 11 位，包括符号。

第 64 位是数字的总符号。

我们将忽略次标准化数字。

您询问的是 -1022 和 0 之间的指数。这意味着您有大约 10 个可用的 11 位指数可供您使用。

您有 52+1 位可用尾数。

这大约是 62 位可用精度，用于表示

的 2**62 个不同值

Answer 4

@wnoise 几乎做到了，但这是我的两分钱。

IEEE 浮点数可以作为整数进行比较和递增，但有一些限制，请参阅这个问题 了解详细信息。因此，如果我们将 +0.0 和 1.0 转换为 64 位整数，我们将得到 0 到 1 之间的步数：

#include <iostream>

int main()
{
        double zero = 0.0;
        double one = 1.0;
        unsigned long long z = *reinterpret_cast<unsigned long long*>(&zero);
        unsigned long long o = *reinterpret_cast<unsigned long long*>(&one);
        std::cout << z << std::endl;
        std::cout << o << std::endl;
}

这分别给出 0 和 4607182418800017408，即在 [0.0, 1.0) 范围内有 4607182418800017408 个唯一的 double 值。

Answer 5

double 在 [0.0, 1.0) 范围内的唯一值总数取决于 double 在特定环境中的表示形式。

最常见的表示形式之一是 IEEE 754 指定的表示形式。例如，该格式由 Java 和 C#（有关后者，请参阅1.3 类型和变量）。

Answer 6

这取决于 double 的实现。有些实现不允许非规范化值并忽略前导值；在这里确定可能值的数量很容易：

• 有一些“特殊”值（0、+0、-0、+无穷、-无穷、静默 NaN、信号 NaN）通常会花费你一个可能的指数，
• 这是没有办法的移动尾数并修改指数给出一个等效的数字

如果您的实现允许非规范化值，那么确定这个数字会变得有点困难，但我首先将此表示中的可能值映射到具有固定前导的等效表示（尾数会少用一位）；如果您找到了适当的映射，这将是内射，并且您已将问题简化为一个更简单的。